Номер 21, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Вычислите значение выражения с переменной:

1) $x^2 + 4\sqrt{5}$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$;

2) $x^2 - 6x + 4$ при $x = 3 + \sqrt{3}$;

3) $x^2 - 4x$ при $x = 2 - \sqrt{2}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 + 4\sqrt{5}$ при $x = 1 - 2\sqrt{5}$, подставим значение $x$ в выражение:
$(1 - 2\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}$
Для раскрытия скобок применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=1$ и $b=2\sqrt{5}$:
$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}$
Выполним вычисления:
$1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 + 4\sqrt{5}$
$1 - 4\sqrt{5} + 20 + 4\sqrt{5}$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(1 + 20) + (-4\sqrt{5} + 4\sqrt{5}) = 21 + 0 = 21$
Ответ: $21$

2) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 6x + 4$ при $x = 3 + \sqrt{3}$, можно предварительно преобразовать выражение, выделив полный квадрат.
Заметим, что $x^2 - 6x$ — это часть формулы квадрата разности $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Представим выражение в следующем виде:
$x^2 - 6x + 4 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 4 = (x - 3)^2 - 5$
Теперь подставим значение $x = 3 + \sqrt{3}$ в преобразованное выражение:
$((3 + \sqrt{3}) - 3)^2 - 5$
Упростим выражение в скобках:
$(\sqrt{3})^2 - 5$
Вычислим результат:
$3 - 5 = -2$
Ответ: $-2$

3) Чтобы вычислить значение выражения $x^2 - 4x$ при $x = 2 - \sqrt{2}$, можно также применить метод выделения полного квадрата.
Заметим, что $x^2 - 4x$ — это часть формулы квадрата разности $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$.
Представим выражение в следующем виде:
$x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4$
Теперь подставим значение $x = 2 - \sqrt{2}$ в преобразованное выражение:
$((2 - \sqrt{2}) - 2)^2 - 4$
Упростим выражение в скобках:
$(-\sqrt{2})^2 - 4$
Вычислим результат:
$2 - 4 = -2$
Ответ: $-2$