Номер 16, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*16. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $\sqrt{y^2} = y;$

2) $\sqrt{y^6} = y^3;$

3) $\sqrt{a^{10}} = -a^5;$

4) $\sqrt{x^{12}} = x^6;$

5) $\sqrt{c^{14}} = -c^7;$

6) $\sqrt{b^2} = -b?$

1) Дано равенство $\sqrt{y^2} = y$.
Основное свойство арифметического квадратного корня гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого действительного числа $a$.Применив это свойство к левой части нашего равенства, получим: $\sqrt{y^2} = |y|$.Таким образом, исходное равенство принимает вид $|y| = y$.По определению модуля, равенство $|y| = y$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $y \ge 0$.
Ответ: при $y \ge 0$.

2) Дано равенство $\sqrt{y^6} = y^3$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $y^6 = (y^3)^2$.Тогда левая часть равенства преобразуется: $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2}$.Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где в данном случае $a = y^3$, получаем: $\sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$.Исходное равенство становится эквивалентно равенству $|y^3| = y^3$.Это равенство верно, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $y^3 \ge 0$.Неравенство $y^3 \ge 0$ выполняется при $y \ge 0$.
Ответ: при $y \ge 0$.

3) Дано равенство $\sqrt{a^{10}} = -a^5$.
Представим подкоренное выражение как квадрат: $a^{10} = (a^5)^2$.Тогда левая часть равенства: $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2}$.Применяя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ для $x = a^5$, получаем $\sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$.Исходное равенство можно переписать как $|a^5| = -a^5$.По определению модуля, равенство $|z| = -z$ верно тогда и только тогда, когда выражение $z$ неположительно, то есть $z \le 0$.В нашем случае $z = a^5$, поэтому должно выполняться условие $a^5 \le 0$.Это неравенство справедливо при $a \le 0$.
Ответ: при $a \le 0$.

4) Дано равенство $\sqrt{x^{12}} = x^6$.
Преобразуем левую часть: $\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2}$.Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ с $a = x^6$, получаем: $\sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$.Исходное равенство принимает вид $|x^6| = x^6$.Это равенство выполняется, когда выражение под знаком модуля неотрицательно: $x^6 \ge 0$.Поскольку любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 6-ю), всегда дает неотрицательный результат, неравенство $x^6 \ge 0$ верно для любого действительного значения $x$.
Ответ: при любом значении $x$.

5) Дано равенство $\sqrt{c^{14}} = -c^7$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $c^{14} = (c^7)^2$.Тогда левая часть равенства: $\sqrt{c^{14}} = \sqrt{(c^7)^2}$.Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для $a = c^7$, получаем: $\sqrt{(c^7)^2} = |c^7|$.Исходное равенство становится $|c^7| = -c^7$.Равенство $|z| = -z$ верно, когда $z \le 0$.В данном случае $z = c^7$, следовательно, должно выполняться условие $c^7 \le 0$.Это неравенство справедливо при $c \le 0$.
Ответ: при $c \le 0$.

6) Дано равенство $\sqrt{b^2} = -b$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{b^2} = |b|$.Тогда исходное равенство можно переписать в виде $|b| = -b$.По определению модуля, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $b \le 0$.
Ответ: при $b \le 0$.