Номер 10, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Найдите x из пропорции:

1) $\frac{x}{a + c} = \frac{c}{c^2 - a^2}$;

2) $\frac{x}{2n + c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2}$;

3) $\frac{x}{a - 3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2}$;

4) $\frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c + 2a}$;

5) $\frac{cx}{2a - 3c} = \frac{2ac}{9c^2 - 4a^2}$;

6) $\frac{2ax}{3b - a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2}$.

1)

Дана пропорция: $\frac{x}{a+c} = \frac{c}{c^2 - a^2}$.

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение): $x \cdot (c^2 - a^2) = c \cdot (a + c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{c(a+c)}{c^2 - a^2}$.

Знаменатель $c^2 - a^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$: $c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$.

Подставим разложенный знаменатель в выражение для $x$: $x = \frac{c(a+c)}{(c-a)(c+a)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(a+c)$: $x = \frac{c}{c-a}$.

Ответ: $x = \frac{c}{c-a}$.

2)

Исходная пропорция: $\frac{x}{2n+c} = \frac{4c}{c^2 - 4n^2}$.

Применим основное свойство пропорции: $x \cdot (c^2 - 4n^2) = 4c \cdot (2n + c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{4c(2n+c)}{c^2 - 4n^2}$.

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $c^2 - 4n^2 = c^2 - (2n)^2 = (c-2n)(c+2n)$.

Подставим это в уравнение: $x = \frac{4c(2n+c)}{(c-2n)(c+2n)}$.

Сократим одинаковые множители $(c+2n)$ в числителе и знаменателе: $x = \frac{4c}{c-2n}$.

Ответ: $x = \frac{4c}{c-2n}$.

3)

Дана пропорция: $\frac{x}{a-3c} = \frac{2c}{9c^2 - a^2}$.

По свойству пропорции: $x \cdot (9c^2 - a^2) = 2c \cdot (a - 3c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{2c(a-3c)}{9c^2 - a^2}$.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $9c^2 - a^2 = (3c)^2 - a^2 = (3c-a)(3c+a)$.

Подставим в выражение для $x$: $x = \frac{2c(a-3c)}{(3c-a)(3c+a)}$.

Заметим, что $(a-3c) = -(3c-a)$. Заменим это в числителе: $x = \frac{2c \cdot (-(3c-a))}{(3c-a)(3c+a)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(3c-a)$: $x = \frac{-2c}{3c+a} = -\frac{2c}{a+3c}$.

Ответ: $x = -\frac{2c}{a+3c}$.

4)

Исходная пропорция: $\frac{6c}{25c^2 - 4a^2} = \frac{x}{5c+2a}$.

Используя перекрестное умножение, получаем: $x \cdot (25c^2 - 4a^2) = 6c \cdot (5c + 2a)$.

Выразим $x$: $x = \frac{6c(5c+2a)}{25c^2 - 4a^2}$.

Знаменатель $25c^2 - 4a^2$ представляет собой разность квадратов: $(5c)^2 - (2a)^2 = (5c-2a)(5c+2a)$.

Подставим разложение в формулу для $x$: $x = \frac{6c(5c+2a)}{(5c-2a)(5c+2a)}$.

Сокращаем общий множитель $(5c+2a)$: $x = \frac{6c}{5c-2a}$.

Ответ: $x = \frac{6c}{5c-2a}$.

5)

Дана пропорция: $\frac{cx}{2a-3c} = \frac{2ac}{9c^2 - 4a^2}$.

По основному свойству пропорции: $cx \cdot (9c^2 - 4a^2) = 2ac \cdot (2a - 3c)$.

Выразим $x$: $x = \frac{2ac(2a-3c)}{c(9c^2 - 4a^2)}$.

Разложим знаменатель $9c^2 - 4a^2$ по формуле разности квадратов: $(3c)^2 - (2a)^2 = (3c-2a)(3c+2a)$.

Подставим в выражение: $x = \frac{2ac(2a-3c)}{c(3c-2a)(3c+2a)}$.

Так как $(2a-3c) = -(3c-2a)$, выполним замену в числителе: $x = \frac{2ac \cdot (-(3c-2a))}{c(3c-2a)(3c+2a)}$.

Сократим общие множители $c$ и $(3c-2a)$: $x = \frac{2a \cdot (-1)}{3c+2a} = -\frac{2a}{2a+3c}$.

Ответ: $x = -\frac{2a}{2a+3c}$.

6)

Исходная пропорция: $\frac{2ax}{3b-a} = \frac{6ab}{9b^2 - a^2}$.

Применим перекрестное умножение: $2ax \cdot (9b^2 - a^2) = 6ab \cdot (3b-a)$.

Выразим $x$: $x = \frac{6ab(3b-a)}{2a(9b^2 - a^2)}$.

Разложим знаменатель $9b^2 - a^2$ как разность квадратов: $(3b)^2 - a^2 = (3b-a)(3b+a)$.

Подставим в выражение: $x = \frac{6ab(3b-a)}{2a(3b-a)(3b+a)}$.

Сократим общие множители. Сначала сократим $(3b-a)$: $x = \frac{6ab}{2a(3b+a)}$.

Теперь сократим дробь $\frac{6ab}{2a}$ на $2a$: $x = \frac{3b}{3b+a}$.

Ответ: $x = \frac{3b}{a+3b}$.