Номер 7, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{b^3 - 1}{b - 1} + b\right) : \frac{b^2 - 1}{b - 1} = b + 1;$

2) $\frac{1 + b}{1 - b^2} \cdot \left(\frac{1 + b^3}{1 + b} - b\right) = 1 - b.$

1) Чтобы доказать тождество, мы преобразуем левую часть равенства и покажем, что она равна правой части. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$ определяется условиями, что знаменатели не равны нулю и делитель не равен нулю: $b - 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq 1$ и $\frac{b^2 - 1}{b - 1} \neq 0 \Rightarrow b^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow b \neq \pm 1$. Таким образом, $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

Выполним преобразования по действиям:

Первое действие в скобках: $\frac{b^3 - 1}{b - 1} + b$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$ к числителю дроби $b^3 - 1$:
$\frac{b^3 - 1}{b - 1} = \frac{(b - 1)(b^2 + b + 1)}{b - 1}$.
Сократим дробь на $(b - 1)$, так как $b \neq 1$:
$b^2 + b + 1$.
Теперь выполним сложение:
$(b^2 + b + 1) + b = b^2 + 2b + 1$.
Это выражение является полным квадратом: $b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2$.

Второе действие - деление. Сначала упростим делитель: $\frac{b^2 - 1}{b - 1}$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$ к числителю $b^2 - 1$:
$\frac{b^2 - 1}{b - 1} = \frac{(b - 1)(b + 1)}{b - 1}$.
Сократим дробь на $(b - 1)$:
$b + 1$.

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:
$(b + 1)^2 : (b + 1) = \frac{(b + 1)^2}{b + 1}$.
Сократим дробь на $(b + 1)$, так как $b \neq -1$:
$b + 1$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $b + 1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Левая часть $(\frac{b^3 - 1}{b - 1} + b) : \frac{b^2 - 1}{b - 1} = (b^2+b+1+b) : (b+1) = (b^2+2b+1) : (b+1) = (b+1)^2 : (b+1) = b+1$. Так как $b+1 = b+1$, тождество верно.

2) Преобразуем левую часть тождества. ОДЗ: $1 - b^2 \neq 0 \Rightarrow b \neq \pm 1$ и $1 + b \neq 0 \Rightarrow b \neq -1$. Таким образом, $b \neq 1$ и $b \neq -1$.

Выполним преобразования по действиям.

Первый множитель: $\frac{1 + b}{1 - b^2}$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $1 - b^2 = (1 - b)(1 + b)$.
$\frac{1 + b}{(1 - b)(1 + b)}$.
Сократим дробь на $(1 + b)$, так как $b \neq -1$:
$\frac{1}{1 - b}$.

Выражение в скобках: $\frac{1 + b^3}{1 + b} - b$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + c^3 = (a+c)(a^2-ac+c^2)$ к числителю дроби $1 + b^3$:
$\frac{1 + b^3}{1 + b} = \frac{(1 + b)(1 - b + b^2)}{1 + b}$.
Сократим дробь на $(1 + b)$:
$1 - b + b^2$.
Теперь выполним вычитание:
$(1 - b + b^2) - b = 1 - 2b + b^2$.
Это выражение является полным квадратом: $1 - 2b + b^2 = (1 - b)^2$.

Теперь перемножим результаты:
$\frac{1}{1 - b} \cdot (1 - b)^2 = \frac{(1 - b)^2}{1 - b}$.
Сократим дробь на $(1 - b)$, так как $b \neq 1$:
$1 - b$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $1 - b$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Левая часть $\frac{1 + b}{1 - b^2} \cdot (\frac{1 + b^3}{1 + b} - b) = \frac{1}{1-b} \cdot (1-b+b^2 - b) = \frac{1}{1-b} \cdot (1-2b+b^2) = \frac{1}{1-b} \cdot (1-b)^2 = 1-b$. Так как $1-b = 1-b$, тождество верно.