Номер 2, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $\frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25}$ и $\frac{1}{6(3x - 5)}$;

2) $\frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16}$ и $\frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$;

3) $\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8}$ и $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$;

4) $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1}$ и $\frac{3}{a - 1}$.

1) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{6x + 10} - \frac{1}{9x - 15} + \frac{5}{9x^2 - 25}$ и $\frac{1}{6(3x - 5)}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Сначала разложим знаменатели на множители:
$6x + 10 = 2(3x + 5)$;
$9x - 15 = 3(3x - 5)$;
$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
Исходное выражение примет вид:
$\frac{1}{2(3x + 5)} - \frac{1}{3(3x - 5)} + \frac{5}{(3x - 5)(3x + 5)}$.
Общий знаменатель для этих дробей равен $2 \cdot 3 \cdot (3x - 5)(3x + 5) = 6(3x - 5)(3x + 5)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot 3(3x - 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} - \frac{1 \cdot 2(3x + 5)}{6(3x - 5)(3x + 5)} + \frac{5 \cdot 6}{6(3x - 5)(3x + 5)} = \frac{3(3x - 5) - 2(3x + 5) + 30}{6(3x - 5)(3x + 5)}$.
Упростим числитель:
$3(3x - 5) - 2(3x + 5) + 30 = 9x - 15 - 6x - 10 + 30 = (9x - 6x) + (-15 - 10 + 30) = 3x + 5$.
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{3x + 5}{6(3x - 5)(3x + 5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(3x + 5)$:
$\frac{1}{6(3x - 5)}$.
Мы получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{2x - 8} + \frac{1}{40 - 10x} + \frac{1}{x^2 - 8x + 16}$ и $\frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Разложим знаменатели на множители:
$2x - 8 = 2(x - 4)$;
$40 - 10x = 10(4 - x) = -10(x - 4)$;
$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$.
Перепишем выражение:
$\frac{1}{2(x - 4)} + \frac{1}{-10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2} = \frac{1}{2(x - 4)} - \frac{1}{10(x - 4)} + \frac{1}{(x - 4)^2}$.
Общий знаменатель равен $10(x - 4)^2$. Приведем дроби к нему:
$\frac{1 \cdot 5(x - 4)}{10(x - 4)^2} - \frac{1 \cdot (x-4)}{10(x - 4)^2} + \frac{1 \cdot 10}{10(x - 4)^2} = \frac{5(x-4) - (x-4) + 10}{10(x-4)^2}$.
Упростим числитель:
$5x - 20 - x + 4 + 10 = (5x - x) + (-20 + 4 + 10) = 4x - 6$.
Получаем дробь:
$\frac{4x - 6}{10(x - 4)^2}$.
Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:
$\frac{2(2x - 3)}{10(x - 4)^2} = \frac{2x - 3}{5(x - 4)^2}$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8}$ и $\frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Разложим знаменатель $x^3 - 8$ по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Выражение примет вид:
$\frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.
Общий знаменатель равен $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{1 \cdot (x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{(x^2 + 2x + 4) + (x - 2)^2 - 6x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.
Упростим числитель:
$x^2 + 2x + 4 + (x^2 - 4x + 4) - 6x = x^2 + 2x + 4 + x^2 - 4x + 4 - 6x = (x^2 + x^2) + (2x - 4x - 6x) + (4 + 4) = 2x^2 - 8x + 8$.
Вынесем общий множитель 2 и свернем по формуле квадрата разности: $2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2$.
Подставим числитель обратно в дробь:
$\frac{2(x - 2)^2}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$.
Сократим на $(x-2)$:
$\frac{2(x - 2)}{x^2 + 2x + 4} = \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}$.
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{1}{a - 1}$ и $\frac{3}{a - 1}$ тождественно равны, упростим первое выражение.
Разложим знаменатель $a^3 - 1$ по формуле разности кубов: $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Общий знаменатель для всех дробей равен $(a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a^2 + 7a + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{1 \cdot (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Объединим дроби:
$\frac{(2a^2 + 7a + 3) - (1 - 2a)(a - 1) - (a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$(1 - 2a)(a - 1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2 + 3a - 1$.
Числитель равен:
$(2a^2 + 7a + 3) - (-2a^2 + 3a - 1) - (a^2 + a + 1) = 2a^2 + 7a + 3 + 2a^2 - 3a + 1 - a^2 - a - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(2a^2 + 2a^2 - a^2) + (7a - 3a - a) + (3 + 1 - 1) = 3a^2 + 3a + 3$.
Вынесем общий множитель 3: $3(a^2 + a + 1)$.
Подставим упрощенный числитель в дробь:
$\frac{3(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
Сократим дробь на $(a^2 + a + 1)$:
$\frac{3}{a - 1}$.
Результат совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.