Номер 5, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{5 - \frac{2}{3x}}{5 + \frac{2}{3x}} + 2$ при $x = 0,5;$

2) $\frac{\frac{5n - 3b}{b} + 3}{\frac{25n + 7b}{b} - 7}$ при $n = 2;$

3) $\frac{\frac{5x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{5y}{x^2}} - 1$ при $\frac{y}{x} = 1;$

4) $\left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 - 2 + \left(\frac{x}{y} - 1\right)^2$ при $x = 0,25$ и $y = 0,5;$

5) $3a - \frac{2a}{1 - 2a} + \frac{c - 6a^2}{2a - 1}$ при $a = -3, c = 12;$

6) $\frac{a^2 - n}{a - 7} - \frac{6a}{7 - a} - a$ при $a = 2, n = -4.$

1)

Исходное выражение: $\frac{5 - \frac{2}{3x}}{5 + \frac{2}{3x}} + 2$.

Сначала упростим выражение. Чтобы избавиться от "двухэтажной" дроби, умножим ее числитель и знаменатель на $3x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{(5 - \frac{2}{3x}) \cdot 3x}{(5 + \frac{2}{3x}) \cdot 3x} + 2 = \frac{5 \cdot 3x - 2}{5 \cdot 3x + 2} + 2 = \frac{15x - 2}{15x + 2} + 2$.

Теперь приведем слагаемые к общему знаменателю $15x+2$:

$\frac{15x - 2}{15x + 2} + \frac{2(15x + 2)}{15x + 2} = \frac{15x - 2 + 30x + 4}{15x + 2} = \frac{45x + 2}{15x + 2}$.

Теперь подставим значение $x = 0,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{45 \cdot 0,5 + 2}{15 \cdot 0,5 + 2} = \frac{22,5 + 2}{7,5 + 2} = \frac{24,5}{9,5} = \frac{245}{95} = \frac{49}{19}$.

Ответ: $\frac{49}{19}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{\frac{5n - 3b}{b} + 3}{\frac{25n + 7b}{b} - 7}$.

Упростим числитель и знаменатель основной дроби, приведя их к общему знаменателю $b$ (при $b \neq 0$):

Числитель: $\frac{5n - 3b}{b} + 3 = \frac{5n - 3b + 3b}{b} = \frac{5n}{b}$.

Знаменатель: $\frac{25n + 7b}{b} - 7 = \frac{25n + 7b - 7b}{b} = \frac{25n}{b}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{5n}{b}}{\frac{25n}{b}} = \frac{5n}{b} \cdot \frac{b}{25n} = \frac{5n}{25n} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ (при $n \neq 0, b \neq 0$).

Значение выражения не зависит от $n$ и равно $\frac{1}{5}$ или $0,2$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

3)

Исходное выражение: $\frac{\frac{5x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{5y}{x^2}} - 1$.

Упростим сложную дробь, приведя к общему знаменателю $x^2y^2$ в ее числителе и знаменателе (при $x \neq 0, y \neq 0$):

$\frac{\frac{5x \cdot x^2 + y \cdot y^2}{x^2y^2}}{\frac{x \cdot x^2 - 5y \cdot y^2}{x^2y^2}} - 1 = \frac{\frac{5x^3 + y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3 - 5y^3}{x^2y^2}} - 1$.

Сократим $x^2y^2$ и получим: $\frac{5x^3 + y^3}{x^3 - 5y^3} - 1$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{5x^3 + y^3 - (x^3 - 5y^3)}{x^3 - 5y^3} = \frac{5x^3 + y^3 - x^3 + 5y^3}{x^3 - 5y^3} = \frac{4x^3 + 6y^3}{x^3 - 5y^3}$.

По условию $\frac{y}{x} = 1$, что означает $y=x$ (при $x \neq 0$). Подставим $y=x$ в упрощенное выражение:

$\frac{4x^3 + 6x^3}{x^3 - 5x^3} = \frac{10x^3}{-4x^3} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2,5$.

Ответ: $-2,5$.

4)

Исходное выражение: $(\frac{x}{y} + 1)^2 - 2 + (\frac{x}{y} - 1)^2$.

Для упрощения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$((\frac{x}{y})^2 + 2\frac{x}{y} + 1) - 2 + ((\frac{x}{y})^2 - 2\frac{x}{y} + 1)$.

Приведем подобные слагаемые:

$(\frac{x^2}{y^2} + \frac{x^2}{y^2}) + (2\frac{x}{y} - 2\frac{x}{y}) + (1 - 2 + 1) = 2\frac{x^2}{y^2} + 0 + 0 = 2\frac{x^2}{y^2}$.

Подставим значения $x = 0,25$ и $y = 0,5$. Сначала найдем отношение $\frac{x}{y} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Вычислим значение выражения: $2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: $0,5$.

5)

Исходное выражение: $3a - \frac{2a}{1-2a} + \frac{c - 6a^2}{2a-1}$.

Заметим, что знаменатели $1-2a$ и $2a-1$ являются противоположными числами: $1-2a = -(2a-1)$. Преобразуем вторую дробь:

$3a - \frac{2a}{-(2a-1)} + \frac{c - 6a^2}{2a-1} = 3a + \frac{2a}{2a-1} + \frac{c - 6a^2}{2a-1}$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $3a + \frac{2a + c - 6a^2}{2a-1}$.

Приведем все выражение к общему знаменателю $2a-1$ (при $a \neq \frac{1}{2}$):

$\frac{3a(2a-1) + 2a + c - 6a^2}{2a-1} = \frac{6a^2 - 3a + 2a + c - 6a^2}{2a-1}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{-a+c}{2a-1}$.

Подставим значения $a = -3$ и $c = 12$:

$\frac{-(-3) + 12}{2(-3) - 1} = \frac{3 + 12}{-6 - 1} = \frac{15}{-7} = -\frac{15}{7}$.

Ответ: $-\frac{15}{7}$.

6)

Исходное выражение: $\frac{a^2-n}{a-7} - \frac{6a}{7-a} - a$.

Заметим, что знаменатели $a-7$ и $7-a$ являются противоположными числами: $7-a = -(a-7)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{a^2-n}{a-7} - \frac{6a}{-(a-7)} - a = \frac{a^2-n}{a-7} + \frac{6a}{a-7} - a$.

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{a^2-n+6a}{a-7} - a$.

Приведем все выражение к общему знаменателю $a-7$ (при $a \neq 7$):

$\frac{a^2-n+6a - a(a-7)}{a-7} = \frac{a^2-n+6a - a^2 + 7a}{a-7}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{(a^2-a^2) + (6a+7a) - n}{a-7} = \frac{13a - n}{a-7}$.

Подставим значения $a=2$ и $n=-4$:

$\frac{13(2) - (-4)}{2 - 7} = \frac{26 + 4}{-5} = \frac{30}{-5} = -6$.

Ответ: $-6$.