Номер 1, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Упростите выражение:

1) $\frac{8}{6+x} - \frac{8}{x-7};$

2) $\frac{9a^2+y^2}{3a-y} + \frac{6ay}{y-3a};$

3) $\frac{ay}{a-yb} + \frac{3a-by}{by-a};$

4) $\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} + \frac{12axy}{6y-ax}.$

1) $\frac{8}{6+x} - \frac{8}{x-7}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(6+x)(x-7)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x-7)$, а второй дроби — на $(6+x)$:

$\frac{8(x-7)}{(6+x)(x-7)} - \frac{8(6+x)}{(6+x)(x-7)} = \frac{8(x-7) - 8(6+x)}{(6+x)(x-7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8x - 56 - 48 - 8x}{(6+x)(x-7)} = \frac{(8x-8x) + (-56-48)}{(6+x)(x-7)} = \frac{-104}{(6+x)(x-7)}$

Ответ: $\frac{-104}{(x+6)(x-7)}$

2) $\frac{9a^2+y^2}{3a-y} + \frac{6ay}{y-3a}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $y-3a$ является противоположным знаменателю первой дроби $3a-y$, поскольку $y-3a = -(3a-y)$. Мы можем изменить знак перед дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{9a^2+y^2}{3a-y} - \frac{6ay}{3a-y}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$\frac{9a^2+y^2-6ay}{3a-y}$

Переставим слагаемые в числителе, чтобы увидеть формулу сокращенного умножения (квадрат разности):

$\frac{9a^2-6ay+y^2}{3a-y} = \frac{(3a)^2 - 2(3a)(y) + y^2}{3a-y} = \frac{(3a-y)^2}{3a-y}$

Сократим дробь на $(3a-y)$:

$3a-y$

Ответ: $3a-y$

3) $\frac{ay}{a-yb} + \frac{3a-by}{by-a}$

Знаменатели дробей $a-yb$ и $by-a$ являются противоположными, так как $by-a = -(a-by)$. Заменим знаменатель второй дроби на $a-by$, поменяв знак перед дробью на противоположный:

$\frac{ay}{a-by} - \frac{3a-by}{a-by}$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{ay - (3a-by)}{a-by}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ay-3a+by}{a-by}$

В полученном выражении дальнейшие упрощения (например, сокращение) невозможны.

Ответ: $\frac{ay-3a+by}{a-by}$

4) $\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} + \frac{12axy}{6y-ax}$

Знаменатели дробей $ax-6y$ и $6y-ax$ являются противоположными выражениями: $6y-ax = -(ax-6y)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{a^2x^2+36y^2}{ax-6y} - \frac{12axy}{ax-6y}$

Теперь знаменатели одинаковы, поэтому вычтем числители:

$\frac{a^2x^2+36y^2-12axy}{ax-6y}$

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы распознать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\frac{a^2x^2-12axy+36y^2}{ax-6y} = \frac{(ax)^2 - 2(ax)(6y) + (6y)^2}{ax-6y} = \frac{(ax-6y)^2}{ax-6y}$

Сократим полученную дробь на общий множитель $(ax-6y)$:

$ax-6y$

Ответ: $ax-6y$