Номер 8, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Сократите дробь:

1) $ \frac{a^4 - 4}{a^3 + 2a} $;

2) $ \frac{x^4 - 4x^2 + 4}{x^3 - 2x} $;

3) $ \frac{x^4 - 6x^2 + 9}{3x - x^3} $;

4) $ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 + 8} $.

1) Для сокращения дроби $\frac{a^4 - 4}{a^3 + 2a}$ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Числитель $a^4 - 4$ представляет собой разность квадратов $(a^2)^2 - 2^2$, которая по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ раскладывается как $(a^2 - 2)(a^2 + 2)$. В знаменателе $a^3 + 2a$ выносим общий множитель $a$ за скобки, получая $a(a^2 + 2)$. Исходная дробь принимает вид $\frac{(a^2 - 2)(a^2 + 2)}{a(a^2 + 2)}$. Сократив общий множитель $(a^2 + 2)$, получаем конечный результат. Ответ: $\frac{a^2 - 2}{a}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^4 - 4x^2 + 4}{x^3 - 2x}$. Числитель $x^4 - 4x^2 + 4$ является полным квадратом разности $(x^2 - 2)^2$, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ при $a = x^2$ и $b = 2$. В знаменателе $x^3 - 2x$ выносим за скобки общий множитель $x$, что дает $x(x^2 - 2)$. Дробь преобразуется к виду $\frac{(x^2 - 2)^2}{x(x^2 - 2)}$. После сокращения на общий множитель $(x^2 - 2)$ остается выражение $\frac{x^2 - 2}{x}$. Ответ: $\frac{x^2 - 2}{x}$.

3) Упростим дробь $\frac{x^4 - 6x^2 + 9}{3x - x^3}$. Числитель $x^4 - 6x^2 + 9$ представляет собой полный квадрат выражения $(x^2 - 3)$, то есть $(x^2 - 3)^2$. В знаменателе $3x - x^3$ вынесем за скобки общий множитель $-x$, чтобы получить выражение, удобное для сокращения: $3x - x^3 = -x(x^2 - 3)$. Таким образом, дробь можно записать как $\frac{(x^2 - 3)^2}{-x(x^2 - 3)}$. Сокращаем дробь на общий множитель $(x^2 - 3)$, в результате чего получаем $\frac{x^2 - 3}{-x}$, что равносильно $\frac{3 - x^2}{x}$. Ответ: $\frac{3 - x^2}{x}$.

4) Сократим дробь $\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 + 8}$. Знаменатель $x^3 + 8$ является суммой кубов $x^3 + 2^3$. Применяя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, получаем $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Числитель дроби $x^2 - 2x + 4$ совпадает с одним из множителей в разложении знаменателя. Дробь принимает вид $\frac{x^2 - 2x + 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$. Сократив на общий множитель $(x^2 - 2x + 4)$, получаем результат. Ответ: $\frac{1}{x + 2}$.