Номер 9, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Упростите выражение:

1) $(\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 - 2;$

2) $(\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y})^2 - (\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y})^2;$

3) $\frac{x}{x+1} \cdot (\frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1}) - \frac{x}{x-1};$

4) $a^4 \cdot (\frac{3a+b}{a} - 3)^2 + b^4 \cdot (\frac{a-2b}{b} + 2)^2 - 4 (ab)^2;$

5) $\frac{a}{a-2} - (\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2};$

6) $2 + (\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7};$

7) $2 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x + 2^{-1}} - 3x;$

8) $3 + \frac{4x^2 - 9^{-1}}{2x + 3^{-1}} - 2(x-1);$

9) $\frac{169^{-1} - a^2}{13^{-1} - a} - (a + 5\frac{1}{13});$

1) $(\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 - 2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = \frac{p}{q} + \frac{q}{p}$ и $B = \frac{p}{q} - \frac{q}{p}$.

$A-B = (\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p}) = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} - \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = 2\frac{q}{p}$

$A+B = (\frac{p}{q} + \frac{q}{p}) + (\frac{p}{q} - \frac{q}{p}) = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} + \frac{p}{q} - \frac{q}{p} = 2\frac{p}{q}$

Произведение $(A-B)(A+B) = (2\frac{q}{p}) \cdot (2\frac{p}{q}) = 4$.

Подставим результат в исходное выражение: $4 - 2 = 2$.

Альтернативный способ — использовать формулу $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

В нашем случае $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{q}{p}$, тогда первая часть выражения равна $4 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 4$.

Итоговое выражение: $4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

2) $(\frac{a+y}{a} - \frac{a-y}{y})^2 - (\frac{a+y}{a} + \frac{a-y}{y})^2$

Применим формулу $(A-B)^2 - (A+B)^2 = -4AB$.

Здесь $A = \frac{a+y}{a}$ и $B = \frac{a-y}{y}$.

Выражение равно $-4 \cdot A \cdot B = -4 \cdot \frac{a+y}{a} \cdot \frac{a-y}{y} = -4\frac{(a+y)(a-y)}{ay}$.

Используя формулу разности квадратов в числителе, получаем: $-4\frac{a^2-y^2}{ay} = \frac{-4a^2+4y^2}{ay} = \frac{4(y^2-a^2)}{ay}$.

Ответ: $\frac{4(y^2-a^2)}{ay}$

3) $\frac{x}{x+1} \cdot (\frac{4x}{x^2-1} + \frac{x-1}{x+1}) - \frac{x}{x-1}$

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

$\frac{4x}{x^2-1} + \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{4x + (x-1)^2}{x^2-1} = \frac{4x + x^2 - 2x + 1}{x^2-1} = \frac{x^2+2x+1}{x^2-1}$.

Числитель является полным квадратом $(x+1)^2$. Сокращаем дробь:

$\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1}{x-1}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{x}{x-1} - \frac{x}{x-1} = 0$.

Ответ: 0

4) $a^4 \cdot (\frac{3a+b}{a} - 3)^2 + b^4 \cdot (\frac{a-2b}{b} + 2)^2 - 4(ab)^2$

Упростим выражения в скобках.

Первая скобка: $\frac{3a+b}{a} - 3 = \frac{3a+b-3a}{a} = \frac{b}{a}$.

Вторая скобка: $\frac{a-2b}{b} + 2 = \frac{a-2b+2b}{b} = \frac{a}{b}$.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$a^4 \cdot (\frac{b}{a})^2 + b^4 \cdot (\frac{a}{b})^2 - 4a^2b^2 = a^4 \cdot \frac{b^2}{a^2} + b^4 \cdot \frac{a^2}{b^2} - 4a^2b^2$.

Сокращаем степени: $a^2b^2 + b^2a^2 - 4a^2b^2 = 2a^2b^2 - 4a^2b^2 = -2a^2b^2$.

Ответ: $-2a^2b^2$

5) $\frac{a}{a-2} - (\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.

$\frac{8a}{a^2-4} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{8a + a^2 - 4a + 4}{a^2-4} = \frac{a^2+4a+4}{a^2-4}$.

Числитель - это полный квадрат $(a+2)^2$. Сокращаем дробь:

$\frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2}$.

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{a}{a-2} - (\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} = \frac{a}{a-2} - \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0$.

Ответ: 0

6) $2 + (\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7}$

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $c^2-49 = (c-7)(c+7)$.

$\frac{28c}{c^2-49} + \frac{(c-7)(c-7)}{(c+7)(c-7)} = \frac{28c + c^2-14c+49}{c^2-49} = \frac{c^2+14c+49}{c^2-49}$.

Числитель - это полный квадрат $(c+7)^2$. Сокращаем дробь:

$\frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7}$.

Подставляем в исходное выражение:

$2 + (\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} = 2 + \frac{c(c+7)}{(c-7)(c+7)} - \frac{c}{c-7} = 2 + \frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} = 2$.

Ответ: 2

7) $2 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x + 2^{-1}} - 3x$

Преобразуем степени: $4^{-1} = \frac{1}{4}$ и $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Выражение принимает вид: $2 + \frac{9x^2 - \frac{1}{4}}{3x + \frac{1}{2}} - 3x$.

Числитель дроби - это разность квадратов: $9x^2 - \frac{1}{4} = (3x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})$.

Сокращаем дробь: $\frac{(3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})}{3x + \frac{1}{2}} = 3x - \frac{1}{2}$.

Подставляем в исходное выражение:

$2 + (3x - \frac{1}{2}) - 3x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

8) $3 + \frac{4x^2 - 9^{-1}}{2x + 3^{-1}} - 2(x - 1)$

Преобразуем степени: $9^{-1} = \frac{1}{9}$ и $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Выражение принимает вид: $3 + \frac{4x^2 - \frac{1}{9}}{2x + \frac{1}{3}} - 2(x - 1)$.

Числитель дроби - это разность квадратов: $4x^2 - \frac{1}{9} = (2x)^2 - (\frac{1}{3})^2 = (2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})$.

Сокращаем дробь: $\frac{(2x - \frac{1}{3})(2x + \frac{1}{3})}{2x + \frac{1}{3}} = 2x - \frac{1}{3}$.

Подставляем в исходное выражение:

$3 + (2x - \frac{1}{3}) - 2(x-1) = 3 + 2x - \frac{1}{3} - 2x + 2 = 5 - \frac{1}{3} = \frac{15-1}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$

9) $\frac{169^{-1} - a^2}{13^{-1} - a} - (a+5\frac{1}{13})$

Преобразуем степени: $169^{-1} = \frac{1}{169}$ и $13^{-1} = \frac{1}{13}$.

Выражение принимает вид: $\frac{\frac{1}{169} - a^2}{\frac{1}{13} - a} - (a+5\frac{1}{13})$.

Числитель дроби - это разность квадратов: $\frac{1}{169} - a^2 = (\frac{1}{13})^2 - a^2 = (\frac{1}{13} - a)(\frac{1}{13} + a)$.

Сокращаем дробь: $\frac{(\frac{1}{13} - a)(\frac{1}{13} + a)}{\frac{1}{13} - a} = \frac{1}{13} + a$.

Преобразуем смешанное число: $5\frac{1}{13} = \frac{5 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{66}{13}$.

Подставляем в исходное выражение:

$(\frac{1}{13} + a) - (a + \frac{66}{13}) = \frac{1}{13} + a - a - \frac{66}{13} = \frac{1-66}{13} = \frac{-65}{13} = -5$.

Ответ: -5