Номер 6, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Упростите выражение:

1) $ (b - \frac{b^2 - 3}{b + 1}) : \frac{b + 3}{1 - b^2} $;

2) $ (b - \frac{b^2 - 6}{b + 1}) : \frac{b + 6}{b^2 - 1} $;

3) $ (1 + 2b - \frac{b^2 + b}{b + 1}) \cdot (1 - b) $.

1) Для упрощения выражения $\left(b - \frac{b^2 - 3}{b + 1}\right) : \frac{b + 3}{1 - b^2}$ выполним действия по шагам.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $b + 1$:
$b - \frac{b^2 - 3}{b + 1} = \frac{b(b + 1)}{b + 1} - \frac{b^2 - 3}{b + 1} = \frac{b^2 + b - (b^2 - 3)}{b + 1} = \frac{b^2 + b - b^2 + 3}{b + 1} = \frac{b + 3}{b + 1}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{b + 3}{b + 1} : \frac{b + 3}{1 - b^2} = \frac{b + 3}{b + 1} \cdot \frac{1 - b^2}{b + 3}$.
Сократим одинаковые множители $(b + 3)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{b + 1} \cdot (1 - b^2)$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$ к выражению $1 - b^2$:
$1 - b^2 = (1 - b)(1 + b)$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{(1 - b)(1 + b)}{b + 1}$.
Так как $1 + b = b + 1$, сокращаем эти множители:
$1 - b$.
Ответ: $1 - b$.

2) Для упрощения выражения $\left(b - \frac{b^2 - 6}{b + 1}\right) : \frac{b + 6}{b^2 - 1}$ выполним действия по шагам.
Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $b + 1$:
$b - \frac{b^2 - 6}{b + 1} = \frac{b(b + 1)}{b + 1} - \frac{b^2 - 6}{b + 1} = \frac{b^2 + b - (b^2 - 6)}{b + 1} = \frac{b^2 + b - b^2 + 6}{b + 1} = \frac{b + 6}{b + 1}$.
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{b + 6}{b + 1} : \frac{b + 6}{b^2 - 1} = \frac{b + 6}{b + 1} \cdot \frac{b^2 - 1}{b + 6}$.
Сократим одинаковые множители $(b + 6)$:
$\frac{b^2 - 1}{b + 1}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$:
$\frac{(b - 1)(b + 1)}{b + 1}$.
Сократим множители $(b + 1)$:
$b - 1$.
Ответ: $b - 1$.

3) Для упрощения выражения $\left(1 + 2b - \frac{b^2 + b}{b + 1}\right) \cdot (1 - b)$ выполним действия по шагам.
Сначала упростим выражение в скобках. Упростим дробь, вынеся $b$ за скобки в числителе:
$\frac{b^2 + b}{b + 1} = \frac{b(b + 1)}{b + 1}$.
При условии, что $b + 1 \neq 0$, то есть $b \neq -1$, мы можем сократить дробь:
$\frac{b(b + 1)}{b + 1} = b$.
Подставим это упрощенное выражение обратно в скобки:
$1 + 2b - b = 1 + b$.
Теперь всё выражение принимает вид:
$(1 + b)(1 - b)$.
Это формула разности квадратов $(a+c)(a-c) = a^2 - c^2$:
$1^2 - b^2 = 1 - b^2$.
Ответ: $1 - b^2$.