Номер 19, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19. Докажите тождество:

1) $\sqrt{9 - 2\sqrt{14}} = \sqrt{7} - \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{6\sqrt{2} + 11} = \sqrt{2} + 3$;

3) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 4$;

4) $\sqrt{8 + 2\sqrt{7}} + \sqrt{8 - 2\sqrt{7}} = 2\sqrt{7}$.

1) Для доказательства тождества $\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7}-\sqrt{2}$ преобразуем его левую часть. Основная идея — представить подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим выражение $9-2\sqrt{14}$ в виде $(a-b)^2$. Для этого нам нужно найти такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=9$ и $2ab=2\sqrt{14}$. Из второго уравнения следует, что $ab=\sqrt{14}$.

Логично предположить, что $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{2}$, так как $\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{14}$. Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+(\sqrt{2})^2 = 7+2=9$. Условие выполняется.

Следовательно, мы можем записать:

$9-2\sqrt{14} = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{7}-\sqrt{2})^2$.

Теперь вернемся к исходному выражению в левой части:

$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2}$.

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Значит:

$\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{2}|$.

Поскольку $7 > 2$, то $\sqrt{7} > \sqrt{2}$, а значит, разность $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ положительна. Поэтому $|\sqrt{7}-\sqrt{2}| = \sqrt{7}-\sqrt{2}$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\sqrt{7}-\sqrt{2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ преобразуется к $\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}-\sqrt{2}$.

2) Для доказательства тождества $\sqrt{6\sqrt{2}+11} = \sqrt{2}+3$ можно возвести обе части в квадрат. Так как обе части равенства являются положительными числами, данное преобразование является равносильным.

Возведем в квадрат левую часть:

$(\sqrt{11+6\sqrt{2}})^2 = 11+6\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат правую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{2}+3)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11+6\sqrt{2}$.

Так как результаты возведения в квадрат обеих частей равны ($11+6\sqrt{2} = 11+6\sqrt{2}$), а сами исходные выражения были неотрицательны, то исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано, так как квадраты обеих частей равны $11+6\sqrt{2}$, и обе части неотрицательны.

3) Для доказательства тождества $\sqrt{7+4\sqrt{3}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} = 4$ упростим каждое из слагаемых в левой части, выделив под корнем полный квадрат.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$. Представим его в виде $\sqrt{a^2+2ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2}$.

$7+4\sqrt{3} = 7+2 \cdot 2\sqrt{3}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=7$ и $ab=2\sqrt{3}$. Попробуем $a=2$ и $b=\sqrt{3}$. Тогда $a^2+b^2 = 2^2+(\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Подходит.

Значит, $7+4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

Следовательно, $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3}$.

Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{7-4\sqrt{3}}$. Аналогично:

$7-4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Так как $2 = \sqrt{4}$, а $\sqrt{4} > \sqrt{3}$, то $2-\sqrt{3} > 0$.

Следовательно, $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3} = 4$.

Левая часть равна 4, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть равна $(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$.

4) Для доказательства тождества $\sqrt{8+2\sqrt{7}} + \sqrt{8-2\sqrt{7}} = 2\sqrt{7}$ поступим аналогично предыдущему пункту, упростив каждое слагаемое.

Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a^2+b^2=8$ и $2ab=2\sqrt{7}$, то есть $ab=\sqrt{7}$. Попробуем $a=\sqrt{7}$ и $b=1$. Тогда $a^2+b^2 = (\sqrt{7})^2+1^2 = 7+1=8$. Подходит.

Значит, $8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{7}+1)^2$.

Следовательно, $\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1| = \sqrt{7}+1$.

Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{8-2\sqrt{7}}$. Аналогично:

$8-2\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{7}-1)^2$.

Так как $\sqrt{7} > \sqrt{1}=1$, то $\sqrt{7}-1 > 0$.

Следовательно, $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |\sqrt{7}-1| = \sqrt{7}-1$.

Сложим полученные выражения:

$(\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = \sqrt{7}+1+\sqrt{7}-1 = 2\sqrt{7}$.

Левая часть равна $2\sqrt{7}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть равна $(\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = 2\sqrt{7}$.