Номер 24, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*24. Внесите множитель под знак корня:

1) $x\sqrt{10}$, где $x \geq 0$;

2) $c\sqrt{\frac{7}{c}}$;

3) $a\sqrt{11}$, где $a < 0$;

4) $4ab\sqrt{\frac{a}{8b}}$, где $a < 0, b < 0$;

5) $c\sqrt{6c}$;

6) $c^3\sqrt{11c^2}$;

7) $3x^5 \cdot \sqrt{\frac{1}{x}}$;

8) $3a^2 b\sqrt{\frac{2b}{a}}$, где $a > 0, b > 0$;

9) $x \cdot \sqrt{-\frac{3}{x}}$;

10) $-a^2\sqrt{12}$;

11) $6x\sqrt{-\frac{x}{8}}$;

12) $\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b^5}{8a}}$, где $a < 0, b < 0$.

1) Чтобы внести множитель $x$ под знак корня в выражении $x\sqrt{10}$, где $x \ge 0$, мы возводим неотрицательный множитель $x$ в квадрат и умножаем на подкоренное выражение.

$x\sqrt{10} = \sqrt{x^2 \cdot 10} = \sqrt{10x^2}$.

Ответ: $\sqrt{10x^2}$.

2) В выражении $c\sqrt{\frac{7}{c}}$ подкоренное выражение $\frac{7}{c}$ должно быть неотрицательным. Так как числитель 7 положителен, то и знаменатель $c$ должен быть положителен, то есть $c > 0$. Поскольку множитель $c$ положителен, вносим его под корень, возведя в квадрат.

$c\sqrt{\frac{7}{c}} = \sqrt{c^2 \cdot \frac{7}{c}} = \sqrt{7c}$.

Ответ: $\sqrt{7c}$.

3) В выражении $a\sqrt{11}$ дан множитель $a < 0$. Чтобы внести отрицательный множитель под знак корня, мы оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим модуль этого множителя, возведенный в квадрат. Так как $a < 0$, то $|a| = -a$.

$a\sqrt{11} = -(-a)\sqrt{11} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 11} = -\sqrt{a^2 \cdot 11} = -\sqrt{11a^2}$.

Ответ: $-\sqrt{11a^2}$.

4) В выражении $4ab\sqrt{\frac{a}{8b}}$ даны условия $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{a}{8b}$ положительно, так как является частным двух отрицательных чисел. Множитель $4ab$ положителен, так как является произведением двух отрицательных чисел. Вносим положительный множитель $4ab$ под корень, возведя его в квадрат.

$4ab\sqrt{\frac{a}{8b}} = \sqrt{(4ab)^2 \cdot \frac{a}{8b}} = \sqrt{16a^2b^2 \cdot \frac{a}{8b}} = \sqrt{\frac{16a^3b^2}{8b}} = \sqrt{2a^3b}$.

Ответ: $\sqrt{2a^3b}$.

5) В выражении $c\sqrt{6c}$ подкоренное выражение $6c$ должно быть неотрицательным, что означает $c \ge 0$. Следовательно, множитель $c$ является неотрицательным. Вносим его под корень, возведя в квадрат.

$c\sqrt{6c} = \sqrt{c^2 \cdot 6c} = \sqrt{6c^3}$.

Ответ: $\sqrt{6c^3}$.

6) В выражении $c^3\sqrt{11c^2}$ подкоренное выражение $11c^2$ всегда неотрицательно. Знак множителя $c^3$ зависит от знака $c$.
- Если $c \ge 0$, то $c^3 \ge 0$. Вносим $c^3$ под корень как $(c^3)^2$:
$c^3\sqrt{11c^2} = \sqrt{(c^3)^2 \cdot 11c^2} = \sqrt{c^6 \cdot 11c^2} = \sqrt{11c^8}$.
- Если $c < 0$, то $c^3 < 0$. Вносим множитель как $-(-c^3)$, где $-c^3 > 0$:
$c^3\sqrt{11c^2} = -(-c^3)\sqrt{11c^2} = -\sqrt{(-c^3)^2 \cdot 11c^2} = -\sqrt{c^6 \cdot 11c^2} = -\sqrt{11c^8}$.

Ответ: $\sqrt{11c^8}$ при $c \ge 0$; $-\sqrt{11c^8}$ при $c < 0$.

7) В выражении $3x^5\sqrt{\frac{1}{x}}$ подкоренное выражение $\frac{1}{x}$ должно быть неотрицательным, что означает $x > 0$. Множитель $3x^5$ при $x > 0$ является положительным. Вносим его под корень, возведя в квадрат.

$3x^5\sqrt{\frac{1}{x}} = \sqrt{(3x^5)^2 \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{9x^{10} \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{9x^9}$.

Ответ: $\sqrt{9x^9}$.

8) В выражении $3a^2b\sqrt{\frac{2b}{a}}$ даны условия $a > 0$ и $b > 0$. Подкоренное выражение $\frac{2b}{a}$ положительно. Множитель $3a^2b$ также положителен. Вносим его под корень, возведя в квадрат.

$3a^2b\sqrt{\frac{2b}{a}} = \sqrt{(3a^2b)^2 \cdot \frac{2b}{a}} = \sqrt{9a^4b^2 \cdot \frac{2b}{a}} = \sqrt{18a^3b^3}$.

Ответ: $\sqrt{18a^3b^3}$.

9) В выражении $x\sqrt{-\frac{3}{x}}$ подкоренное выражение $-\frac{3}{x}$ должно быть неотрицательным. Так как числитель -3 отрицателен, знаменатель $x$ также должен быть отрицателен, то есть $x < 0$. Множитель $x$ отрицателен. Оставляем знак "минус" перед корнем, а под корень вносим положительное число $-x$, возведенное в квадрат.

$x\sqrt{-\frac{3}{x}} = -(-x)\sqrt{-\frac{3}{x}} = -\sqrt{(-x)^2 \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)} = -\sqrt{x^2 \cdot \left(-\frac{3}{x}\right)} = -\sqrt{-3x}$.

Ответ: $-\sqrt{-3x}$.

10) В выражении $-a^2\sqrt{12}$ множитель, который нужно внести под корень, это $a^2$. Знак "минус" остается перед корнем. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), вносим его под корень, возведя в квадрат.

$-a^2\sqrt{12} = -\sqrt{(a^2)^2 \cdot 12} = -\sqrt{a^4 \cdot 12} = -\sqrt{12a^4}$.

Ответ: $-\sqrt{12a^4}$.

11) В выражении $6x\sqrt{-\frac{x}{8}}$ подкоренное выражение $-\frac{x}{8}$ должно быть неотрицательным, что означает $x \le 0$.
Если $x=0$, выражение равно 0. Если $x < 0$, множитель $6x$ отрицателен. Представляем его как $-(-6x)$ и вносим под корень положительное число $-6x$, возведенное в квадрат.

$6x\sqrt{-\frac{x}{8}} = -(-6x)\sqrt{-\frac{x}{8}} = -\sqrt{(-6x)^2 \cdot \left(-\frac{x}{8}\right)} = -\sqrt{36x^2 \cdot \left(-\frac{x}{8}\right)} = -\sqrt{-\frac{36x^3}{8}} = -\sqrt{-\frac{9x^3}{2}}$.

Ответ: $-\sqrt{-\frac{9x^3}{2}}$.

12) В выражении $\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b^5}{8a}}$ даны условия $a < 0$ и $b < 0$. Подкоренное выражение $\frac{b^5}{8a}$ положительно (частное двух отрицательных чисел, так как $b^5<0$ и $8a<0$). Множитель $\frac{2a}{b}$ также положителен (частное двух отрицательных чисел). Вносим положительный множитель под корень, возведя его в квадрат.

$\frac{2a}{b}\sqrt{\frac{b^5}{8a}} = \sqrt{\left(\frac{2a}{b}\right)^2 \cdot \frac{b^5}{8a}} = \sqrt{\frac{4a^2}{b^2} \cdot \frac{b^5}{8a}} = \sqrt{\frac{4a^2b^5}{8ab^2}} = \sqrt{\frac{ab^3}{2}}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{ab^3}{2}}$.