Номер 28, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $x^2 + 2x - 8;$

2) $3x^2 - 11x + 8;$

3) $-2x^2 + 5x - 3;$

4) $-3x^2 + 8x - 5.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

1) $x^2 + 2x - 8$

Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 + 2x - 8 = 0$.
Здесь коэффициенты: $a = 1, b = 2, c = -8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Теперь подставим корни в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = 1 \cdot (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 4)$.

2) $3x^2 - 11x + 8$

Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 - 11x + 8 = 0$.
Коэффициенты: $a = 3, b = -11, c = 8$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 121 - 96 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
Подставим корни и коэффициент $a=3$ в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - \frac{8}{3})(x - 1)$.
Умножим первый множитель в скобках на 3, чтобы избавиться от дроби: $3(x - \frac{8}{3}) = 3x - 8$.
Таким образом, разложение имеет вид $(3x - 8)(x - 1)$.

Ответ: $(3x - 8)(x - 1)$.

3) $-2x^2 + 5x - 3$

Приравняем трехчлен к нулю: $-2x^2 + 5x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a = -2, b = 5, c = -3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$.
Подставим корни и коэффициент $a=-2$ в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = -2(x - 1)(x - \frac{3}{2})$.
Внесем множитель $-2$ во вторую скобку: $-2(x - \frac{3}{2}) = -2x + 3 = 3 - 2x$.
Разложение: $(x - 1)(3 - 2x)$.

Ответ: $(x - 1)(3 - 2x)$.

4) $-3x^2 + 8x - 5$

Приравняем трехчлен к нулю: $-3x^2 + 8x - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a = -3, b = 8, c = -5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-5) = 64 - 60 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 + 2}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 - 2}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}$.
Подставим корни и коэффициент $a=-3$ в формулу разложения: $a(x - x_1)(x - x_2) = -3(x - 1)(x - \frac{5}{3})$.
Внесем множитель $-3$ во вторую скобку: $-3(x - \frac{5}{3}) = -3x + 5 = 5 - 3x$.
Разложение: $(x - 1)(5 - 3x)$.

Ответ: $(x - 1)(5 - 3x)$.