Номер 33, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

33. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:

1) $x^2 - 10x + 24 = 0;$

2) $x^2 - 11x + 24 = 0;$

3) $x^2 - 12x + 27 = 0;$

4) $x^2 + 11x + 24 = 0;$

5) $x^2 + 42x + 441 = 0;$

6) $x^2 + 14x - 32 = 0;$

7) $x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0;$

8) $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0;$

9) $x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0;$

10) $x^2 - 3(\sqrt{5} + 4)x + 36\sqrt{5} = 0;$

11) $x^2 + 4\sqrt{5}x + 20 = 0;$

12) $x^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{6})x - 2\sqrt{3} = 0.$

1) Для уравнения $x^2 - 10x + 24 = 0$, согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть равна $-(-10) = 10$, а их произведение $x_1 \cdot x_2$ должно быть равно $24$. Методом подбора находим числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это числа 4 и 6, так как $4 + 6 = 10$ и $4 \cdot 6 = 24$.
Ответ: 4; 6.

2) Для уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$ ищем два числа $x_1$ и $x_2$ такие, что их сумма $x_1 + x_2 = -(-11) = 11$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 24$. Этими числами являются 3 и 8, поскольку $3 + 8 = 11$ и $3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: 3; 8.

3) Для уравнения $x^2 - 12x + 27 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 27$. Подбираем числа: 3 и 9. Проверяем: $3 + 9 = 12$ и $3 \cdot 9 = 27$. Условия выполняются.
Ответ: 3; 9.

4) Для уравнения $x^2 + 11x + 24 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -11$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 24$. Так как произведение положительное, а сумма отрицательная, оба корня должны быть отрицательными. Подходят числа -3 и -8: $(-3) + (-8) = -11$ и $(-3) \cdot (-8) = 24$.
Ответ: -8; -3.

5) Для уравнения $x^2 + 42x + 441 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -42$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 441$. Заметим, что $441 = 21^2$. Попробуем числа -21 и -21. Их сумма $(-21) + (-21) = -42$, а произведение $(-21) \cdot (-21) = 441$. Уравнение имеет один корень кратности 2.
Ответ: -21.

6) Для уравнения $x^2 + 14x - 32 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -14$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -32$. Так как произведение отрицательное, корни имеют разные знаки. Сумма отрицательная, значит, модуль отрицательного корня больше. Подходят числа -16 и 2: $(-16) + 2 = -14$ и $(-16) \cdot 2 = -32$.
Ответ: -16; 2.

7) Для уравнения $x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -(-(\sqrt{2} + 3)) = \sqrt{2} + 3$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2}$. Из вида суммы и произведения очевидно, что корнями являются числа $\sqrt{2}$ и $3$. Проверяем: $\sqrt{2} + 3$ и $\sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$; 3.

8) Для уравнения $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = \sqrt{2} + \sqrt{3}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{6}$. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Следовательно, корнями являются числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$.

9) Для уравнения $x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = 2\sqrt{2}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 1$. Подберем два числа, которые удовлетворяют этим условиям. Такими числами являются $\sqrt{2} - 1$ и $\sqrt{2} + 1$. Проверяем сумму: $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2}$. Проверяем произведение: $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$; $\sqrt{2} + 1$.

10) Для уравнения $x^2 - 3(\sqrt{5} + 4)x + 36\sqrt{5} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = 3(\sqrt{5} + 4) = 3\sqrt{5} + 12$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 36\sqrt{5}$. Попробуем в качестве корней числа $12$ и $3\sqrt{5}$. Их сумма $12 + 3\sqrt{5}$ совпадает с требуемой. Их произведение $12 \cdot 3\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$ также совпадает.
Ответ: 12; $3\sqrt{5}$.

11) Для уравнения $x^2 + 4\sqrt{5}x + 20 = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -4\sqrt{5}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 20$. Это похоже на квадрат суммы. Попробуем корни $-2\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{5}$. Сумма: $(-2\sqrt{5}) + (-2\sqrt{5}) = -4\sqrt{5}$. Произведение: $(-2\sqrt{5}) \cdot (-2\sqrt{5}) = 4 \cdot 5 = 20$. Условия выполняются.
Ответ: $-2\sqrt{5}$.

12) Для уравнения $x^2 - (\sqrt{2} - \sqrt{6})x - 2\sqrt{3} = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -2\sqrt{3}$. Попробуем в качестве корней числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{6}$. Их сумма: $\sqrt{2} + (-\sqrt{6}) = \sqrt{2} - \sqrt{6}$. Их произведение: $\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{6}) = -\sqrt{12} = -\sqrt{4 \cdot 3} = -2\sqrt{3}$. Условия выполняются.
Ответ: $-\sqrt{6}$; $\sqrt{2}$.