Номер 39, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39. Приведите пример уравнения вида $(x - a)^2 + n = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

Рассмотрим общее уравнение вида $(x-a)^2 + n = 0$.

Преобразуем его, перенеся $n$ в правую часть: $(x-a)^2 = -n$.

Уравнение имеет действительные корни только в том случае, если его правая часть $(-n)$ неотрицательна, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. То есть, должно выполняться условие $-n \ge 0$, или $n \le 0$.

Если $n \le 0$, то корни уравнения находятся по формуле: $x - a = \pm\sqrt{-n}$, откуда $x = a \pm\sqrt{-n}$. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = a + \sqrt{-n}$ и $x_2 = a - \sqrt{-n}$.

1) имеет два целых корня;

Для того чтобы оба корня $x = a \pm\sqrt{-n}$ были целыми, необходимо, чтобы $a$ было целым числом и $\sqrt{-n}$ также было целым числом. Для этого, в свою очередь, число $-n$ должно быть полным квадратом некоторого целого числа, отличного от нуля (чтобы было два различных корня).

Выберем в качестве $a$ целое число, например, $a = 2$.

Выберем $-n$ так, чтобы оно было полным квадратом, например, $-n = 9$. Отсюда $n = -9$.

Подставим эти значения в исходный вид уравнения: $(x-2)^2 - 9 = 0$.

Проверим корни этого уравнения: $(x-2)^2 = 9$, значит $x-2 = \pm 3$. Корни: $x_1 = 2+3=5$ и $x_2 = 2-3=-1$. Оба корня являются целыми числами.

Ответ: $(x-2)^2 - 9 = 0$.

2) имеет два рациональных корня;

Для того чтобы оба корня $x = a \pm\sqrt{-n}$ были рациональными, необходимо, чтобы $a$ было рациональным числом и $\sqrt{-n}$ также было рациональным числом. Для этого число $-n$ должно быть квадратом некоторого рационального числа, отличного от нуля.

Выберем $a$ как рациональное число, например, $a = \frac{1}{3}$.

Выберем $-n$ как квадрат рационального числа, например, $-n = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда $n = -\frac{1}{4}$.

Подставим значения в уравнение: $(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{4} = 0$.

Проверим корни: $(x-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{4}$, значит $x-\frac{1}{3} = \pm\frac{1}{2}$. Корни: $x = \frac{1}{3} \pm \frac{1}{2}$. Получаем $x_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$ и $x_2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$. Оба корня являются рациональными.

Ответ: $(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{4} = 0$.

3) имеет два иррациональных корня;

Корни $x = a \pm\sqrt{-n}$ будут иррациональными, если $a$ — рациональное число, а $\sqrt{-n}$ — иррациональное. Число $\sqrt{-n}$ будет иррациональным, если $-n$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа.

Выберем $a$ как рациональное число, например, $a = 5$.

Выберем $-n$ как положительное число, не являющееся полным квадратом, например, $-n=3$. Отсюда $n = -3$.

Подставим значения в уравнение: $(x-5)^2 - 3 = 0$.

Проверим корни: $(x-5)^2 = 3$, значит $x-5 = \pm\sqrt{3}$. Корни: $x = 5 \pm\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3}$ — иррациональное число, то оба корня, $5 + \sqrt{3}$ и $5 - \sqrt{3}$, являются иррациональными.

Ответ: $(x-5)^2 - 3 = 0$.

4) не имеет действительных корней.

Как было показано ранее, уравнение $(x-a)^2 = -n$ не имеет действительных корней, если его правая часть отрицательна. Это происходит, когда $-n < 0$, то есть $n > 0$.

Выберем любое действительное число для $a$, например, $a = 1$.

Выберем любое положительное число для $n$, например, $n = 4$.

Подставим значения в уравнение: $(x-1)^2 + 4 = 0$.

В этом уравнении $(x-1)^2 = -4$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, у этого уравнения нет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: $(x-1)^2 + 4 = 0$.