Номер 42, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Найдите значения параметра a, при которых равен нулю один из корней уравнения:

1) $2x^2 - 5x + 2a - 8 = 0;$

2) $x^2 - 4x + a^2 - 25 = 0;$

3) $3x^2 - (a - 2)x + 2a^2 - 8 = 0;$

4) $3x^2 - (a + 1)x + 4a^2 - 4 = 0.$

Для того чтобы один из корней квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его свободный член $C$ (член, не содержащий переменную $x$) был равен нулю. Это следует из того, что при подстановке корня $x=0$ в уравнение мы получаем $A \cdot 0^2 + B \cdot 0 + C = 0$, что упрощается до $C=0$. Кроме того, для существования действительных корней дискриминант $D=B^2 - 4AC$ должен быть неотрицательным. При $C=0$ дискриминант становится $D=B^2$, что всегда неотрицательно, поэтому условие существования корней выполняется автоматически для действительных коэффициентов.

1) $2x^2 - 5x + 2a - 8 = 0$

В этом уравнении свободный член равен $2a - 8$. Приравняем его к нулю, чтобы найти значение параметра $a$, при котором один из корней равен нулю.

$2a - 8 = 0$

$2a = 8$

$a = 4$

При $a = 4$ уравнение принимает вид $2x^2 - 5x = 0$, или $x(2x-5)=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=2.5$. Условие выполнено.

Ответ: $a = 4$.

2) $x^2 - 4x + a^2 - 25 = 0$

Свободный член этого уравнения равен $a^2 - 25$. Приравняем его к нулю.

$a^2 - 25 = 0$

Это разность квадратов: $(a - 5)(a + 5) = 0$.

Уравнение имеет два решения: $a_1 = 5$ и $a_2 = -5$.

При любом из этих значений $a$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$, или $x(x-4)=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=4$. Условие выполнено.

Ответ: $a = -5; 5$.

3) $3x^2 - (a - 2)x + 2a^2 - 8 = 0$

Свободный член данного уравнения равен $2a^2 - 8$. Приравняем его к нулю.

$2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 = 8$

$a^2 = 4$

Уравнение имеет два решения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.

Проверка:
При $a = 2$ уравнение становится $3x^2 - (2-2)x + 2(2^2) - 8 = 0 \implies 3x^2 = 0$, корень $x=0$.
При $a = -2$ уравнение становится $3x^2 - (-2-2)x + 2((-2)^2) - 8 = 0 \implies 3x^2 + 4x = 0$, или $x(3x+4)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=-4/3$.
Условие выполнено для обоих значений $a$.

Ответ: $a = -2; 2$.

4) $3x^2 - (a + 1)x + 4a^2 - 4 = 0$

Свободный член уравнения равен $4a^2 - 4$. Приравняем его к нулю.

$4a^2 - 4 = 0$

$4(a^2 - 1) = 0$

$a^2 = 1$

Уравнение имеет два решения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -1$.

Проверка:
При $a = 1$ уравнение становится $3x^2 - (1+1)x + 4(1^2) - 4 = 0 \implies 3x^2 - 2x = 0$, или $x(3x-2)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2=2/3$.
При $a = -1$ уравнение становится $3x^2 - (-1+1)x + 4((-1)^2) - 4 = 0 \implies 3x^2 = 0$, корень $x=0$.
Условие выполнено для обоих значений $a$.

Ответ: $a = -1; 1$.