Номер 48, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48. Используя график функции $y = f(x)$, найдите, при каких значениях переменной функция принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения;

в) наибольшее или наименьшее значение (рис. 1—4):

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 1

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график находится выше оси абсцисс (оси $x$). Из графика видно, что это происходит при значениях $x$ левее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x < 2$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси абсцисс. Это происходит при значениях $x$ правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > 2$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

в) График функции — прямая линия, которая неограниченно продолжается вверх (при $x \to -\infty$) и вниз (при $x \to +\infty$). Следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Рис. 2

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график (парабола) находится выше оси $x$. Это происходит на интервале между точками пересечения с осью $x$, то есть между $x = -1$ и $x = 3$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-1; 3)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит левее точки $x = -1$ и правее точки $x = 3$.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

в) График функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Она имеет наибольшее значение в своей вершине. Из графика видно, что вершина находится в точке $(1; 4)$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 4. Наименьшего значения у функции нет, так как ветви уходят в $-\infty$.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$, наименьшего значения нет.

Рис. 3

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график находится выше оси $x$. Левая ветвь графика (при $x < -2$) целиком расположена выше оси $x$ (и даже выше прямой $y=1$). Правая ветвь (при $x > -2$) пересекает ось $x$ в точке, которая по графику определяется как $x=-1$. Правее этой точки ($x > -1$) график также находится выше оси $x$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-1; +\infty)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит на правой ветви графика, на интервале между вертикальной асимптотой $x=-2$ и точкой пересечения с осью $x$ ($x=-1$).
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-2; -1)$.

в) У функции есть вертикальная асимптота $x=-2$. При приближении к этой асимптоте слева ($x \to -2^-$) значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$), а при приближении справа ($x \to -2^+$) — неограниченно убывают ($y \to -\infty$). Следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений нет.

Рис. 4

а) Функция принимает положительные значения, когда ее график находится выше оси $x$. Из графика видно, что он пересекает ось $x$ в точке $x=2$ и правее этой точки расположен выше оси.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (2; +\infty)$.

б) Функция принимает отрицательные значения, когда ее график находится ниже оси $x$. Это происходит на участке от начальной точки области определения $x=-2$ до точки пересечения с осью $x$ ($x=2$). В точке $x=-2$ значение функции равно -2 (отрицательное), а в точке $x=2$ значение равно 0.
Ответ: $y < 0$ при $x \in [-2; 2)$.

в) График функции начинается в точке $(-2; -2)$ и неограниченно возрастает. Следовательно, у функции есть наименьшее значение, но нет наибольшего. Наименьшее значение достигается в начальной точке.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшего значения нет.