Номер 55, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

55. Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x - 2)^2(x - 7) \le 0;$

2) $(x + 4)(x - 5)^2 < 0;$

3) $(x^2 + 14x + 13)(x - 10) \le 0;$

4) $(-7x^2 - 6x + 1)(x - 5) \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x - 2)^2(x - 7) \le 0$ методом интервалов. Сначала найдем корни выражения в левой части, приравняв его к нулю. Корнями являются $x = 2$ и $x = 7$. Корень $x = 2$ имеет кратность 2 (четную), так как множитель $(x - 2)$ возведен в квадрат. При переходе через этот корень знак выражения на числовой оси меняться не будет. Корень $x = 7$ имеет кратность 1 (нечетную). При переходе через этот корень знак выражения изменится. Нанесем корни на числовую ось и определим знаки на получившихся интервалах. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 10$. $(10 - 2)^2(10 - 7) = 8^2 \cdot 3 = 192 > 0$. Значит, на интервале $(7; +\infty)$ выражение положительно. Неравенство имеет вид $\le 0$, поэтому искомые значения $x$ находятся в промежутках со знаком "минус", а также включают сами корни. Решением является объединение $(-\infty, 2] \cup [2, 7]$, что равносильно $x \in (-\infty, 7]$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 7.
Ответ: 7

2) Решим неравенство $(x + 4)(x - 5)^2 < 0$ методом интервалов. Найдем корни левой части: $x = -4$ (кратность 1, нечетная) и $x = 5$ (кратность 2, четная). При переходе через $x = -4$ знак будет меняться, а при переходе через $x = 5$ — нет. Нанесем корни на числовую ось. Неравенство строгое ($<$), поэтому точки будут выколотыми. Определим знак на крайнем правом интервале, взяв $x=10$: $(10+4)(10-5)^2 = 14 \cdot 25 > 0$. Нам нужен промежуток, где выражение строго меньше нуля. Это интервал $(-\infty, -4)$. Наибольшим целым числом в этом интервале является -5.
Ответ: -5

3) Решим неравенство $(x^2 + 14x + 13)(x - 10) \le 0$. Сначала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 14x + 13$. Найдем его корни через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 196 - 52 = 144 = 12^2$. $x_1 = \frac{-14 - 12}{2} = -13$, $x_2 = \frac{-14 + 12}{2} = -1$. Таким образом, $x^2 + 14x + 13 = (x + 13)(x + 1)$. Неравенство принимает вид: $(x + 13)(x + 1)(x - 10) \le 0$. Корни левой части: $x = -13, x = -1, x = 10$. Все корни имеют нечетную кратность (1), поэтому знак будет меняться при переходе через каждый корень. Нанесем корни на числовую ось. Возьмем пробную точку $x = 20$: $(20+13)(20+1)(20-10) > 0$. Выбираем промежутки со знаком "минус", включая концы: $x \in (-\infty, -13] \cup [-1, 10]$. Из двух полученных промежутков, наибольшее целое число находится во втором. Это число 10.
Ответ: 10

4) Решим неравенство $(-7x^2 - 6x + 1)(x - 5) \ge 0$. Разложим на множители трехчлен $-7x^2 - 6x + 1$. Для этого решим уравнение $-7x^2 - 6x + 1 = 0$, или, что то же самое, $7x^2 + 6x - 1 = 0$. $D = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$. $x_1 = \frac{-6 - 8}{14} = -1$, $x_2 = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$. Значит, $-7x^2 - 6x + 1 = -7(x - (-1))(x - \frac{1}{7}) = -7(x+1)(x - \frac{1}{7})$. Подставим в исходное неравенство: $-7(x+1)(x - \frac{1}{7})(x - 5) \ge 0$. Разделим обе части на -7, изменив знак неравенства на противоположный: $(x+1)(x - \frac{1}{7})(x - 5) \le 0$. Корни: $x = -1$, $x = \frac{1}{7}$, $x = 5$. Все корни имеют нечетную кратность. Нанесем точки на ось. Пробная точка $x=10$: $(10+1)(10-1/7)(10-5) > 0$. Выбираем промежутки со знаком "минус", включая концы: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{1}{7}, 5]$. Наибольшее целое число находится в промежутке $[\frac{1}{7}, 5]$. Целые числа в этом промежутке: 1, 2, 3, 4, 5. Наибольшее из них - 5.
Ответ: 5