Номер 57, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

57. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} \frac{x+7}{x-1} > 0, \\ \frac{x-9,3}{x+3} < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+4}{x-25} \le 0, \\ \frac{22-x}{4+x} < 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 25 \le 0, \\ x^2 + 2x - 8 > 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0, \\ x^2 - 3x - 18 < 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ x^2 - 2x - 15 < 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0, \\ x^2 + 3x - 10 < 0. \end{cases}$

1) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} \frac{x+7}{x-1} > 0 \\ \frac{x-9,3}{x+3} < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x+7}{x-1} > 0 $.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x+7=0 \Rightarrow x=-7$. Нули знаменателя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Отметим точки -7 и 1 на числовой оси. Они разделяют ось на три интервала: $(-\infty, -7)$, $(-7, 1)$ и $(1, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- при $x>1$ (например, $x=2$): $\frac{2+7}{2-1} = 9 > 0$. Знак "+".
- при $-7- при $x<-7$ (например, $x=-8$): $\frac{-8+7}{-8-1} = \frac{-1}{-9} > 0$. Знак "+".
Так как неравенство строгое ($>0$), выбираем интервалы со знаком "+".
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{x-9,3}{x+3} < 0 $.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x-9,3=0 \Rightarrow x=9,3$. Нули знаменателя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
Отметим точки -3 и 9,3 на числовой оси. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 9,3)$ и $(9,3, \infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- при $x>9,3$ (например, $x=10$): $\frac{10-9,3}{10+3} > 0$. Знак "+".
- при $-3- при $x<-3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4-9,3}{-4+3} > 0$. Знак "+".
Так как неравенство строгое ($<0$), выбираем интервал со знаком "-".
Решение второго неравенства: $x \in (-3, 9,3)$.

3. Найдем пересечение решений.
Решение системы - это пересечение множеств $x \in (-\infty, -7) \cup (1, \infty)$ и $x \in (-3, 9,3)$.
Пересечением является интервал $(1, 9,3)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (1, 9,3)$.

2) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} \frac{x+4}{x-25} \le 0 \\ \frac{22-x}{4+x} < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \frac{x+4}{x-25} \le 0 $.
Методом интервалов. Нули числителя: $x=-4$ (точка включается). Нули знаменателя: $x=25$ (точка исключается).
Интервалы: $(-\infty, -4]$, $[-4, 25)$, $(25, \infty)$.
- при $x>25$: знак "+".
- при $-4 \le x < 25$: знак "-".
- при $x<-4$: знак "+".
Решение: $x \in [-4, 25)$.

2. Решим второе неравенство: $ \frac{22-x}{4+x} < 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{x-22}{x+4} > 0 $.
Методом интервалов. Нули числителя: $x=22$. Нули знаменателя: $x=-4$. Обе точки выколотые.
Интервалы: $(-\infty, -4)$, $(-4, 22)$, $(22, \infty)$.
- при $x>22$: знак "+".
- при $-4 < x < 22$: знак "-".
- при $x<-4$: знак "+".
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (22, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in [-4, 25)$ и $x \in (-\infty, -4) \cup (22, \infty)$.
Пересечение множеств: $([-4, 25) \cap (-\infty, -4)) \cup ([-4, 25) \cap (22, \infty))$.
Первое пересечение пустое. Второе пересечение дает $(22, 25)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (22, 25)$.

3) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 25 \le 0 \\ x^2 + 2x - 8 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 25 \le 0 \Rightarrow (x-5)(x+5) \le 0$.
Корни уравнения $x^2-25=0$ равны $x_1=-5$, $x_2=5$. Ветви параболы $y=x^2-25$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in [-5, 5]$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 2x - 8 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+2x-8=0$. По теореме Виета $x_1+x_2=-2$, $x_1x_2=-8$. Корни $x_1=-4$, $x_2=2$.
Неравенство можно записать как $(x+4)(x-2) > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in [-5, 5]$ и $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$.
Пересечение $[-5, 5]$ с $(-\infty, -4)$ дает $[-5, -4)$.
Пересечение $[-5, 5]$ с $(2, \infty)$ дает $(2, 5]$.
Объединяя эти два интервала, получаем решение системы.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in [-5, -4) \cup (2, 5]$.

4) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 18 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - x - 2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2-x-2=0$: $x_1=-1$, $x_2=2$. Неравенство $(x+1)(x-2) \ge 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 18 < 0$.
Корни уравнения $x^2-3x-18=0$: $x_1=-3$, $x_2=6$. Неравенство $(x+3)(x-6) < 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-3, 6)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ и $x \in (-3, 6)$.
Пересечение $(-3, 6)$ с $(-\infty, -1]$ дает $(-3, -1]$.
Пересечение $(-3, 6)$ с $[2, \infty)$ дает $[2, 6)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-3, -1] \cup [2, 6)$.

5) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ x^2 - 2x - 15 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ge 0$.
Корни $x_1=-2, x_2=2$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 15 < 0$.
Корни уравнения $x^2-2x-15=0$: $x_1=-3$, $x_2=5$. Неравенство $(x+3)(x-5) < 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-3, 5)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ и $x \in (-3, 5)$.
Пересечение $(-3, 5)$ с $(-\infty, -2]$ дает $(-3, -2]$.
Пересечение $(-3, 5)$ с $[2, \infty)$ дает $[2, 5)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [2, 5)$.

6) Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x^2 + x - 2 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 10 < 0 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 + x - 2 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2+x-2=0$: $x_1=-2$, $x_2=1$. Неравенство $(x+2)(x-1) \ge 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 10 < 0$.
Корни уравнения $x^2+3x-10=0$: $x_1=-5$, $x_2=2$. Неравенство $(x+5)(x-2) < 0$. Парабола ветвями вверх.
Решение: $x \in (-5, 2)$.

3. Найдем пересечение решений $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ и $x \in (-5, 2)$.
Пересечение $(-5, 2)$ с $(-\infty, -2]$ дает $(-5, -2]$.
Пересечение $(-5, 2)$ с $[1, \infty)$ дает $[1, 2)$.
Изобразим решение на числовой оси:

Ответ: $x \in (-5, -2] \cup [1, 2)$.