Номер 50, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50. Постройте график функции:

1) $y = \frac{3x - 2}{x}$;

2) $y = \frac{2x + 3}{2x}$;

3) $y = \sqrt{x - 2}$;

4) $y = 1 - \sqrt{(x - 2)^2}$;

5) $y = \frac{3}{|x|}$;

6) $y = \frac{1}{|x - 3|}$;

7) $y = -x|x| + 2x^2$;

8) $y = \frac{|x|}{x^2} + 2$.

1) $y = \frac{3x - 2}{x}$

Преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель почленно: $y = \frac{3x}{x} - \frac{2}{x} = 3 - \frac{2}{x}$. Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График этой функции получается из графика гиперболы $y = -\frac{2}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Асимптоты графика: - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy). - горизонтальная асимптота: $y = 3$. Найдем несколько точек для построения: - если $x = 1$, то $y = 3 - 2/1 = 1$. - если $x = 2$, то $y = 3 - 2/2 = 2$. - если $x = -1$, то $y = 3 - 2/(-1) = 5$. - если $x = -2$, то $y = 3 - 2/(-2) = 4$. - точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 3 - 2/x \implies 2/x = 3 \implies x = 2/3$.

Ответ: График функции – гипербола, полученная сдвигом графика $y = -2/x$ на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=3$.

2) $y = \frac{2x + 3}{2x}$

Преобразуем функцию: $y = \frac{2x}{2x} + \frac{3}{2x} = 1 + \frac{1.5}{x}$. Область определения функции: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. График этой функции получается из графика гиперболы $y = \frac{1.5}{x}$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Асимптоты графика: - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy). - горизонтальная асимптота: $y = 1$. Найдем несколько точек для построения: - если $x = 1$, то $y = 1 + 1.5/1 = 2.5$. - если $x = 1.5$, то $y = 1 + 1.5/1.5 = 2$. - если $x = -1$, то $y = 1 + 1.5/(-1) = -0.5$. - если $x = -1.5$, то $y = 1 + 1.5/(-1.5) = 0$.

Ответ: График функции – гипербола, полученная сдвигом графика $y = 1.5/x$ на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=1$.

3) $y = \sqrt{x - 2}$

Область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$. Область значений: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$. График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Найдем несколько точек для построения: - начальная точка графика: $x=2, y=\sqrt{2-2}=0$. Точка (2, 0). - если $x = 3$, то $y = \sqrt{3-2} = 1$. Точка (3, 1). - если $x = 6$, то $y = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$. Точка (6, 2). - если $x = 11$, то $y = \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$. Точка (11, 3).

Ответ: График функции – ветвь параболы, выходящая из точки (2, 0) и направленная вправо и вверх.

4) $y = 1 - \sqrt{(x-2)^2}$

Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $y = 1 - |x - 2|$. Это функция с модулем. Ее график представляет собой "галочку", перевернутую вниз. Раскроем модуль по определению: - если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид $y = 1 - (x-2) = 1 - x + 2 = 3 - x$. - если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, то $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Функция принимает вид $y = 1 - (2-x) = 1 - 2 + x = x - 1$. Таким образом, $y = \begin{cases} 3-x, & x \ge 2 \\ x-1, & x < 2 \end{cases}$. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю, то есть $x=2$. При $x=2, y=1-|2-2|=1$. Вершина в точке (2, 1). Точки пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = 1 - |x-2| \implies |x-2|=1$. $x-2 = 1 \implies x=3$. $x-2 = -1 \implies x=1$. Точки (1, 0) и (3, 0).

Ответ: График состоит из двух лучей, выходящих из точки (2, 1). Для $x \ge 2$ это часть прямой $y=3-x$, а для $x < 2$ – часть прямой $y=x-1$.

5) $y = \frac{3}{|x|}$

Область определения функции: $x \neq 0$. Так как $y(-x) = \frac{3}{|-x|} = \frac{3}{|x|} = y(x)$, функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy. Рассмотрим случай $x > 0$: $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{3}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой координатной четверти. Асимптоты: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox). Для $x < 0$ график получается отражением части для $x>0$ относительно оси Oy. Ключевые точки: - для $x > 0$: (1, 3), (3, 1). - для $x < 0$: (-1, 3), (-3, 1).

Ответ: График симметричен относительно оси Oy. Асимптоты – оси координат. График состоит из двух ветвей гиперболы, расположенных в I и II координатных четвертях.

6) $y = \frac{1}{|x - 3|}$

Область определения функции: $|x - 3| \neq 0 \implies x \neq 3$. График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{|x|}$ (рассмотренной в предыдущем пункте, с коэффициентом 1 вместо 3) путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Асимптоты: - вертикальная асимптота: $x = 3$. - горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox). График симметричен относительно прямой $x = 3$ и полностью лежит выше оси Ox. Ключевые точки: - при $x=4, y = \frac{1}{|4-3|} = 1$. - при $x=2, y = \frac{1}{|2-3|} = 1$. - при $x=0, y = \frac{1}{|0-3|} = 1/3$.

Ответ: График функции $y=1/|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=0$. График расположен над осью Ox.

7) $y = -x|x| + 2x^2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая: - если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = -x(x) + 2x^2 = -x^2 + 2x^2 = x^2$. - если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = -x(-x) + 2x^2 = x^2 + 2x^2 = 3x^2$. Получаем кусочно-заданную функцию: $y = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ 3x^2, & x < 0 \end{cases}$. График состоит из двух частей парабол, сходящихся в точке (0, 0). Для $x \ge 0$ это правая ветвь параболы $y=x^2$. Точки: (0,0), (1,1), (2,4). Для $x < 0$ это левая ветвь параболы $y=3x^2$. Точки: (-1,3), (-2,12).

Ответ: График состоит из двух частей парабол, соединенных в начале координат. При $x \ge 0$ это график $y=x^2$, при $x < 0$ это график $y=3x^2$.

8) $y = \frac{|x|}{x^2} + 2$

Область определения: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. Упростим выражение: так как $x^2 = |x|^2$, то $\frac{|x|}{x^2} = \frac{|x|}{|x|^2} = \frac{1}{|x|}$ для $x \neq 0$. Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{1}{|x|} + 2$. График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{|x|}$ (см. пункт 5) сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy. Асимптоты: - вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy). - горизонтальная асимптота: $y = 2$. Ключевые точки: - при $x=1, y = 1/1 + 2 = 3$. - при $x=0.5, y = 1/0.5 + 2 = 4$. - при $x=-1, y = 1/|-1| + 2 = 3$.

Ответ: График функции $y=1/|x|$, сдвинутый на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=2$. График полностью расположен выше прямой $y=2$.