Номер 52, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

52. Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h(м): $v(h) = -h^2 + 2h + 3$. Постройте график функции в программе “Живая геометрия” и по графику найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где $v = 0$) и глубину с максимально сильным течением.

Зависимость скорости течения реки $v$ (м/с) от глубины $h$ (м) задана функцией $v(h) = -h^2 + 2h + 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $h^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика и нахождения требуемых величин определим ключевые точки параболы, учитывая, что глубина $h$ не может быть отрицательной ($h \ge 0$).

1. Вершина параболы. Эта точка соответствует максимальному значению функции, то есть максимальной скорости течения.

Координата $h$ вершины находится по формуле $h_{верш} = -\frac{b}{2a}$:

$h_{верш} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$ м.

Координата $v$ вершины (максимальная скорость) находится подстановкой $h_{верш}$ в функцию:

$v(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$ м/с.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

2. Пересечение с осями координат.

Пересечение с осью $v$ (при $h=0$): $v(0) = 3$ м/с. Точка $(0; 3)$.

Пересечение с осью $h$ (при $v=0$): Эта точка соответствует нулевой скорости течения, что по условию является максимальной глубиной реки.

$-h^2 + 2h + 3 = 0$

$h^2 - 2h - 3 = 0$

Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), получаем корни $h_1 = 3$ и $h_2 = -1$. Так как глубина не может быть отрицательной, нас интересует только корень $h=3$. Точка пересечения — $(3; 0)$.

На основе этих данных построим график функции для физически осмысленного диапазона $h \in [0, 3]$.

Нахождение максимальной глубины реки

Максимальная глубина реки соответствует условию $v=0$. По графику это точка, в которой кривая пересекает горизонтальную ось $h$. Из графика видно, что это происходит при $h=3$. Таким образом, максимальная глубина реки составляет 3 метра.

Ответ: максимальная глубина реки составляет 3 м.

Нахождение глубины с максимально сильным течением

Максимально сильное течение — это максимальное значение скорости $v$. На графике это самая высокая точка параболы, её вершина. Координаты вершины — $(1; 4)$. Это означает, что при глубине $h=1$ м скорость течения $v$ достигает своего максимума в 4 м/с. Следовательно, глубина с максимально сильным течением равна 1 метру.

Ответ: глубина с максимально сильным течением составляет 1 м.