Номер 59, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

59. 1) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 24 ч. Если первый рабочий, работая один, может выполнить половину задания, а затем его сменит второй рабочий, то все задание будет выполнено за 49 ч. За какое время каждый из них выполнит задание, работая по одному?

2) Две бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. Если сначала будет работать только одна из них и выполнит половину всего задания, а затем ее сменит другая бригада, то все задание будет выполнено за 25 дней. За какое время каждая бригада может выполнить это задание?

59. 1)

Пусть $x$ — время в часах, за которое первый рабочий выполнит все задание, работая один, а $y$ — время в часах, за которое второй рабочий выполнит все задание, работая один.

Тогда производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ задания в час, а второго — $\frac{1}{y}$ задания в час.

Когда они работают вместе, их общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. По условию, вместе они выполняют задание за 24 часа. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 24 = 1$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}$

По второму условию, первый рабочий выполняет половину задания, а затем второй рабочий выполняет вторую половину. Время, затраченное первым рабочим на половину задания, равно $\frac{0.5}{1/x} = 0.5x$ часов. Время, затраченное вторым рабочим, равно $\frac{0.5}{1/y} = 0.5y$ часов. Общее время составляет 49 часов. Составим второе уравнение:

$0.5x + 0.5y = 49$

$x + y = 98$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \\ x + y = 98 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 98 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{98 - x} = \frac{1}{24}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{98 - x + x}{x(98 - x)} = \frac{1}{24}$

$\frac{98}{98x - x^2} = \frac{1}{24}$

$98 \cdot 24 = 98x - x^2$

$2352 = 98x - x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 98x + 2352 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-98)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2352 = 9604 - 9408 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{98 + 14}{2} = \frac{112}{2} = 56$

$x_2 = \frac{98 - 14}{2} = \frac{84}{2} = 42$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 56$, то $y_1 = 98 - 56 = 42$.

Если $x_2 = 42$, то $y_2 = 98 - 42 = 56$.

Таким образом, один рабочий может выполнить задание за 42 часа, а другой — за 56 часов.

Ответ: первый рабочий выполнит задание за 42 часа, а второй — за 56 часов (или наоборот).

59. 2)

Эта задача по своей структуре аналогична предыдущей.

Пусть $x$ — время в днях, за которое первая бригада выполнит всю работу, а $y$ — время, за которое вторая бригада выполнит всю работу.

Производительность первой бригады — $\frac{1}{x}$ работы в день, второй — $\frac{1}{y}$ работы в день.

Работая вместе, они выполняют работу за 12 дней. Их общая производительность — $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 12 = 1$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

По второму условию, одна из бригад выполняет половину работы, а затем другая — вторую половину. Время выполнения половины работы первой бригадой — $0.5x$ дней, второй — $0.5y$ дней. Общее время — 25 дней. Составим второе уравнение:

$0.5x + 0.5y = 25$

$x + y = 50$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ x + y = 50 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 50 - x$. Подставим в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}$

$\frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12}$

$\frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12}$

$50 \cdot 12 = 50x - x^2$

$600 = 50x - x^2$

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 50, а их произведение — 600. Легко подобрать числа 20 и 30. $20+30=50$, $20 \cdot 30 = 600$.

Либо решим через дискриминант:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 30$, то $y_1 = 50 - 30 = 20$.

Если $x_2 = 20$, то $y_2 = 50 - 20 = 30$.

Следовательно, одна бригада может выполнить работу за 20 дней, а другая — за 30 дней.

Ответ: первая бригада выполнит задание за 20 дней, а вторая — за 30 дней (или наоборот).