Номер 60, страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

60. 1) Моторная лодка прошла путь длиной 45 км по течению реки и 22 км против течения реки, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость движения лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Моторная лодка прошла путь длиной 10 км против течения реки и 7 км по течению реки, затратив на путь по течению реки на 30 мин меньше, чем на путь против течения реки. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Найдите скорость течения реки.

1) Пусть $x$ км/ч — искомая скорость движения лодки в стоячей воде. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Время, затраченное на путь в 45 км по течению, составляет $\frac{45}{x+2}$ часов, а на путь в 22 км против течения — $\frac{22}{x-2}$ часов. По условию, на весь путь было затрачено 5 часов, поэтому можем составить уравнение: $\frac{45}{x+2} + \frac{22}{x-2} = 5$. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю: $45(x-2) + 22(x+2) = 5(x+2)(x-2)$. Раскроем скобки и упростим: $45x - 90 + 22x + 44 = 5(x^2 - 4)$, что приводит к $67x - 46 = 5x^2 - 20$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 - 67x + 26 = 0$. Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-67)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 26 = 4489 - 520 = 3969$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 63$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{67 + 63}{2 \cdot 5} = \frac{130}{10} = 13$ и $x_2 = \frac{67 - 63}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0.4$. Корень $x_2 = 0.4$ не удовлетворяет условию $x > 2$, поэтому он является посторонним. Единственным решением является $x=13$.
Ответ: 13 км/ч.

2) Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки. Собственная скорость лодки равна 12 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(12 + x)$ км/ч, а скорость против течения — $(12 - x)$ км/ч. Время, затраченное на путь в 10 км против течения, равно $\frac{10}{12-x}$ часов. Время, затраченное на путь в 7 км по течению, равно $\frac{7}{12+x}$ часов. По условию, на путь по течению было затрачено на 30 минут (то есть на 0,5 часа) меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение: $\frac{10}{12-x} - \frac{7}{12+x} = 0.5$. Скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости лодки, то есть $0 < x < 12$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю и умножим обе части на $2(12-x)(12+x)$, чтобы избавиться от знаменателей и дроби в правой части: $2 \cdot 10(12+x) - 2 \cdot 7(12-x) = (12-x)(12+x)$. Раскроем скобки: $20(12+x) - 14(12-x) = 144 - x^2$, что дает $240 + 20x - 168 + 14x = 144 - x^2$. Упростим выражение: $72 + 34x = 144 - x^2$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 + 34x - 72 = 0$. Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1156 + 288 = 1444$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 38$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-34 + 38}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{-34 - 38}{2} = \frac{-72}{2} = -36$. Корень $x_2 = -36$ является посторонним, так как скорость не может быть отрицательной. Решение $x_1=2$ удовлетворяет условию $0 < x < 12$.
Ответ: 2 км/ч.