Номер 58, страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

58. 1) Из пункта А в пункт В выехал автобус. Спустя 0,5 ч вслед за ним выехал автомобиль. Через 1,1 ч после своего выхода он обогнал автобус и между ними было 2 км пути. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.

2) Из пункта А в пункт В выехала грузовая автомашина. Спустя 1,2 ч вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 ч после своего выхода автобус отставал от машины на 24 км пути. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой автомашины на 30 км/ч.

3) Автомобиль проехал 360 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 90 км/ч. Вторую половину пути — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля.

1)Пусть $v_б$ км/ч — скорость автобуса, тогда скорость автомобиля, которая на 20 км/ч больше, равна $(v_б + 20)$ км/ч.
Автобус выехал из пункта А. Спустя 0,5 часа за ним выехал автомобиль. Через 1,1 часа после своего выезда автомобиль обогнал автобус.
Это означает, что к моменту обгона автомобиль был в пути $t_а = 1,1$ ч.
Автобус к этому моменту был в пути на 0,5 часа дольше: $t_б = 1,1 + 0,5 = 1,6$ ч.
Расстояние, которое проехал автомобиль за свое время: $S_а = t_а \cdot (v_б + 20) = 1,1 \cdot (v_б + 20)$ км.
Расстояние, которое проехал автобус за свое время: $S_б = t_б \cdot v_б = 1,6 \cdot v_б$ км.
По условию, в момент обгона автомобиль был впереди автобуса на 2 км. Это значит, что $S_а = S_б + 2$.
Составим и решим уравнение:
$1,1 \cdot (v_б + 20) = 1,6 \cdot v_б + 2$
$1,1 v_б + 22 = 1,6 v_б + 2$
$22 - 2 = 1,6 v_б - 1,1 v_б$
$20 = 0,5 v_б$
$v_б = 20 / 0,5$
$v_б = 40$ км/ч.
Скорость автомобиля равна $40 + 20 = 60$ км/ч.
Проверим: $S_а = 60 \cdot 1,1 = 66$ км. $S_б = 40 \cdot 1,6 = 64$ км. $66 - 64 = 2$ км. Условие выполняется.
Ответ: 40 км/ч.

2)Пусть $v_г$ км/ч — скорость грузовой автомашины, тогда скорость автобуса, которая на 30 км/ч больше, равна $(v_г + 30)$ км/ч.
Грузовая машина выехала из пункта А. Спустя 1,2 часа за ней выехал автобус. Через 0,8 часа после своего выезда автобус отставал от машины на 24 км.
К моменту замера расстояния автобус был в пути $t_б = 0,8$ ч.
Грузовая машина к этому моменту была в пути на 1,2 часа дольше: $t_г = 0,8 + 1,2 = 2$ ч.
Расстояние, которое проехала грузовая машина: $S_г = t_г \cdot v_г = 2 \cdot v_г$ км.
Расстояние, которое проехал автобус: $S_б = t_б \cdot (v_г + 30) = 0,8 \cdot (v_г + 30)$ км.
По условию, автобус отставал от машины на 24 км. Это значит, что $S_г = S_б + 24$.
Составим и решим уравнение:
$2 \cdot v_г = 0,8 \cdot (v_г + 30) + 24$
$2 v_г = 0,8 v_г + 24 + 24$
$2 v_г - 0,8 v_г = 48$
$1,2 v_г = 48$
$v_г = 48 / 1,2$
$v_г = 40$ км/ч.
Скорость автобуса равна $v_б = v_г + 30 = 40 + 30 = 70$ км/ч.
Проверим: $S_г = 40 \cdot 2 = 80$ км. $S_б = 70 \cdot 0,8 = 56$ км. $80 - 56 = 24$ км. Условие выполняется.
Ответ: 70 км/ч.

3)Средняя скорость движения вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.
Общий путь $S_{общ} = 360$ км.
Первая половина пути: $S_1 = 360 / 2 = 180$ км. Скорость на этом участке $v_1 = 90$ км/ч.
Вторая половина пути: $S_2 = 360 / 2 = 180$ км. Скорость на этом участке $v_2 = 60$ км/ч.
Найдем время, затраченное на каждый участок:
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{180}{90} = 2$ ч.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{180}{60} = 3$ ч.
Общее время в пути: $t_{общ} = t_1 + t_2 = 2 + 3 = 5$ ч.
Теперь можем рассчитать среднюю скорость на всем пути:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{360}{5} = 72$ км/ч.
Ответ: 72 км/ч.