Номер 51, страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

51. Запишите уравнение функции, полученной путем параллельного переноса:

1) графика функции $y = x^2$ на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх;

2) графика функции $y = 2x^2$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз;

3) вершины графика функции $y = x^2$ в точку $(-1; 2)$;

4) вершины графика функции $y = 2x^2$ в точку $(3; -2)$.

1) графика функции y = x² на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх;
Общее уравнение функции, полученной путем параллельного переноса графика функции $y = f(x)$ на $h$ единиц по горизонтали и на $k$ единиц по вертикали, имеет вид $y = f(x-h) + k$.
Исходная функция: $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.
Сдвиг на 2 единицы вправо соответствует $h = 2$.
Сдвиг на 3 единицы вверх соответствует $k = 3$.
Подставляем значения в формулу: $y = (x-2)^2 + 3$.
Вершина новой параболы находится в точке $(2, 3)$.
Ответ: $y = (x-2)^2 + 3$

2) графика функции y = 2x² на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз;
Исходная функция: $y = 2x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$.
Сдвиг на 3 единицы вправо соответствует $h = 3$.
Сдвиг на 2 единицы вниз соответствует $k = -2$.
Уравнение параболы $y=ax^2$ после переноса ее вершины в точку $(h, k)$ принимает вид $y = a(x-h)^2 + k$.
В данном случае $a = 2$, $h = 3$, $k = -2$.
Подставляем значения: $y = 2(x-3)^2 + (-2)$, что равносильно $y = 2(x-3)^2 - 2$.
Вершина новой параболы находится в точке $(3, -2)$.
Ответ: $y = 2(x-3)^2 - 2$

3) вершины графика функции y = x² в точку (–1; 2);
Исходная функция $y = x^2$ — это парабола с коэффициентом $a=1$ и вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Перенос вершины в точку $(-1, 2)$ означает, что новые координаты вершины $(h, k)$ равны $(-1, 2)$.
Используем вершинную формулу параболы $y = a(x-h)^2 + k$.
Подставляем $a=1$, $h=-1$ и $k=2$:
$y = 1 \cdot (x - (-1))^2 + 2$
$y = (x+1)^2 + 2$
Ответ: $y = (x+1)^2 + 2$

4) вершины графика функции y = 2x² в точку (3; –2).
Исходная функция $y = 2x^2$ — это парабола с коэффициентом $a=2$ и вершиной в начале координат $(0, 0)$.
Перенос вершины в точку $(3, -2)$ означает, что новые координаты вершины $(h, k)$ равны $(3, -2)$.
Используем вершинную формулу параболы $y = a(x-h)^2 + k$.
Подставляем $a=2$, $h=3$ и $k=-2$:
$y = 2(x-3)^2 + (-2)$
$y = 2(x-3)^2 - 2$
Ответ: $y = 2(x-3)^2 - 2$