Номер 47, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47. Постройте график функции $y = f(x)$. Найдите координаты точек пересечения с осью $Ox$ и осью $Oy$ графика функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x - 1,5$;

2) $f(x) = 2x + 0,5$;

3) $f(x) = |x|$;

4) $f(x) = |x| - 1$;

5) $f(x) = x^2 - 2$;

6) $f(x) = x^2 + 1,5$;

7) $f(x) = -x^2 + 4$;

8) $f(x) = -x^2 + 2,5$;

9) $f(x) = x^2 - 2$;

10) $f(x) = 2x + x^2$;

11) $f(x) = -1\frac{1}{3}x + 3x^2$;

12) $f(x) = 1,25x + 5x^2$.

1) $f(x) = x - 1,5$

Это линейная функция, ее график — прямая линия.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy (ось ординат): для этого подставляем $x = 0$ в уравнение функции.

$y = f(0) = 0 - 1,5 = -1,5$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1,5)$.

2. С осью Ox (ось абсцисс): для этого решаем уравнение $f(x) = 0$.

$x - 1,5 = 0 \implies x = 1,5$

Точка пересечения с осью Ox: $(1,5; 0)$.

Построение графика:

Для построения прямой достаточно двух точек. Мы уже нашли точки пересечения с осями: $(1,5; 0)$ и $(0; -1,5)$. Проведем через них прямую.

Ответ: точка пересечения с осью Ox: $(1,5; 0)$; с осью Oy: $(0; -1,5)$.

2) $f(x) = 2x + 0,5$

Это линейная функция, ее график — прямая линия.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 2 \cdot 0 + 0,5 = 0,5$. Точка $(0; 0,5)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies 2x + 0,5 = 0 \implies 2x = -0,5 \implies x = -0,25$. Точка $(-0,25; 0)$.

Построение графика:

Проведем прямую через точки $(-0,25; 0)$ и $(0; 0,5)$.

Ответ: точка пересечения с осью Ox: $(-0,25; 0)$; с осью Oy: $(0; 0,5)$.

3) $f(x) = |x|$

Это функция модуля. Ее график имеет V-образную форму.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = |0| = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies |x| = 0 \implies x = 0$. Точка $(0; 0)$.

График пересекает обе оси в начале координат.

Построение графика:

График состоит из двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0; 0)$.

Ответ: точка пересечения с осями Ox и Oy: $(0; 0)$.

4) $f(x) = |x| - 1$

Это график функции $y = |x|$, смещенный на 1 единицу вниз. График также имеет V-образную форму.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = |0| - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies |x| - 1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$. Точки $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Построение графика:

Вершина графика находится в точке $(0; -1)$. График проходит через точки $(1; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(-1; 0)$; с осью Oy: $(0; -1)$.

5) $f(x) = x^2 - 2$

Это квадратичная функция. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$. Это также вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$. Точки $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; -2)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$; с осью Oy: $(0; -2)$.

6) $f(x) = x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 + 1,5 = 1,5$. Точка $(0; 1,5)$. Это вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 + 1,5 = 0 \implies x^2 = -1,5$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, график не пересекает ось Ox.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; 1,5)$ и ветвями, направленными вверх.

Ответ: точек пересечения с осью Ox нет; с осью Oy: $(0; 1,5)$.

7) $f(x) = -x^2 + 4$

Это квадратичная функция. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = -0^2 + 4 = 4$. Точка $(0; 4)$. Это вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies -x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$. Точки $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(2; 0)$ и $(-2; 0)$; с осью Oy: $(0; 4)$.

8) $f(x) = -x^2 + 2,5$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вниз ($a=-1<0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = -0^2 + 2,5 = 2,5$. Точка $(0; 2,5)$. Это вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies -x^2 + 2,5 = 0 \implies x^2 = 2,5 \implies x = \sqrt{2,5}$ или $x = -\sqrt{2,5}$. Точки $(\sqrt{2,5}; 0)$ и $(-\sqrt{2,5}; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в $(0; 2,5)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $(\sqrt{2,5}, 0) \approx (1.58, 0)$ и $(-\sqrt{2,5}, 0) \approx (-1.58, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2,5}; 0)$ и $(-\sqrt{2,5}; 0)$; с осью Oy: $(0; 2,5)$.

9) $f(x) = x^2 - 2$

Это задание идентично заданию 5.

Это квадратичная функция. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 - 2 = -2$. Точка $(0; -2)$. Это также вершина параболы.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$. Точки $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$.

Построение графика:

График — парабола с вершиной в точке $(0; -2)$, ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(\sqrt{2}; 0)$ и $(-\sqrt{2}; 0)$; с осью Oy: $(0; -2)$.

10) $f(x) = 2x + x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = x^2 + 2x$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0 \implies x = 0$ или $x = -2$. Точки $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

Построение графика:

Найдем вершину параболы: $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$.

$y_v = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.

Вершина находится в точке $(-1; -1)$. График проходит через точки $(0;0)$ и $(-2;0)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$; с осью Oy: $(0; 0)$.

11) $f(x) = -1\frac{1}{3}x + 3x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = 3x^2 - \frac{4}{3}x$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=3>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies 3x^2 - \frac{4}{3}x = 0 \implies x(3x - \frac{4}{3}) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $3x = \frac{4}{3} \implies x = \frac{4}{9}$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(\frac{4}{9}; 0)$.

Построение графика:

Найдем вершину параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-\frac{4}{3})/(2 \cdot 3) = \frac{4}{3} / 6 = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.

$y_v = f(\frac{2}{9}) = 3(\frac{2}{9})^2 - \frac{4}{3}(\frac{2}{9}) = 3 \cdot \frac{4}{81} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27} - \frac{8}{27} = -\frac{4}{27}$.

Вершина находится в точке $(\frac{2}{9}; -\frac{4}{27}) \approx (0.22; -0.15)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(\frac{4}{9}; 0)$; с осью Oy: $(0; 0)$.

12) $f(x) = 1,25x + 5x^2$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = 5x^2 + 1,25x$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=5>0$).

Найдем точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: $x = 0 \implies y = f(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.

2. С осью Ox: $f(x) = 0 \implies 5x^2 + 1,25x = 0 \implies x(5x + 1,25) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $5x = -1,25 \implies x = -0,25$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-0,25; 0)$.

Построение графика:

Найдем вершину параболы: $x_v = -b/(2a) = -1,25/(2 \cdot 5) = -1,25/10 = -0,125$.

$y_v = f(-0,125) = 5(-0,125)^2 + 1,25(-0,125) = 5(0,015625) - 0,15625 = 0,078125 - 0,15625 = -0,078125$.

Вершина находится в точке $(-0,125; -0,078125)$.

Ответ: точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-0,25; 0)$; с осью Oy: $(0; 0)$.