Номер 40, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40. Решите квадратное уравнение, содержащее переменную под знаком модуля:

1) $x^2 - 8 |x| + 15 = 0;$

2) $x^2 - |x| + 2 = 0;$

3) $4 |x| - x^2 - 2x + 8 = 0;$

4) $x^2 - 2 |x - 1| - 15 = 0;$

5) $x^2 - 5 |x| + 4 = 0;$

6) $x^2 + 18 |x| + 80 = 0;$

7) $x |x| - 9x + 18 = 0;$

8) $x |x| - 15x - 54 = 0;$

9) $x^2 - \frac{12x}{|x|} + 15 = 0;$

10) $x |x| + \frac{x}{|x|} = 0.$

1) $x^2 - 8 |x| + 15 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 8 |x| + 15 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $|x|$.

Сделаем замену: пусть $t = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Получаем уравнение: $t^2 - 8t + 15 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $|x| = 3$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

2) $|x| = 5$, откуда $x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $\{-5, -3, 3, 5\}$.

2) $x^2 - |x| + 2 = 0$

Используя свойство $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение: $|x|^2 - |x| + 2 = 0$.

Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $t^2 - t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, уравнение относительно $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

3) $4 |x| - x^2 - 2x + 8 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$4x - x^2 - 2x + 8 = 0$

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = 4$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$4(-x) - x^2 - 2x + 8 = 0$

$-x^2 - 6x + 8 = 0$

$x^2 + 6x - 8 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$.

Корень $x_3 = -3 + \sqrt{17}$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, то $4 < \sqrt{17} < 5$. Значит, $-3 + \sqrt{17} > 1$, что не удовлетворяет условию $x < 0$.

Корень $x_4 = -3 - \sqrt{17}$ очевидно отрицателен и удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем два корня.

Ответ: $\{4, -3 - \sqrt{17}\}$.

4) $x^2 - 2 |x - 1| - 15 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Тогда $|x - 1| = x - 1$.

$x^2 - 2(x - 1) - 15 = 0$

$x^2 - 2x + 2 - 15 = 0$

$x^2 - 2x - 13 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 1 \pm \sqrt{14}$.

Корень $x_1 = 1 + \sqrt{14}$. Так как $\sqrt{14} > 0$, то $1 + \sqrt{14} > 1$, корень подходит.

Корень $x_2 = 1 - \sqrt{14}$. Так как $\sqrt{14} > 1$, то $1 - \sqrt{14} < 0$, что не удовлетворяет условию $x \ge 1$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$. Тогда $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.

$x^2 - 2(1 - x) - 15 = 0$

$x^2 - 2 + 2x - 15 = 0$

$x^2 + 2x - 17 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 4 + 68 = 72$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-2 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 3\sqrt{2}$.

Корень $x_3 = -1 + 3\sqrt{2}$. Так как $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, а $\sqrt{18} > \sqrt{4} = 2$, то $-1 + 3\sqrt{2} > 1$, что не удовлетворяет условию $x < 1$.

Корень $x_4 = -1 - 3\sqrt{2}$ очевидно меньше 1, корень подходит.

Ответ: $\{1 + \sqrt{14}, -1 - 3\sqrt{2}\}$.

5) $x^2 - 5 |x| + 4 = 0$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 5 |x| + 4 = 0$.

Пусть $t = |x|$, где $t \ge 0$. Получаем уравнение: $t^2 - 5t + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1) $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

2) $|x| = 4$, откуда $x = 4$ или $x = -4$.

Ответ: $\{-4, -1, 1, 4\}$.

6) $x^2 + 18 |x| + 80 = 0$

В левой части уравнения все слагаемые неотрицательны, так как $x^2 \ge 0$ и $18|x| \ge 0$. Более того, слагаемое 80 строго положительно.

Сумма неотрицательных чисел и положительного числа всегда положительна и не может равняться нулю. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

7) $x |x| - 9x + 18 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$x \cdot x - 9x + 18 = 0$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x \cdot (-x) - 9x + 18 = 0$

$-x^2 - 9x + 18 = 0$

$x^2 + 9x - 18 = 0$

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 81 + 72 = 153$.

$x = \frac{-9 \pm \sqrt{153}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{9 \cdot 17}}{2} = \frac{-9 \pm 3\sqrt{17}}{2}$.

Корень $x_3 = \frac{-9 + 3\sqrt{17}}{2}$. Так как $3\sqrt{17} = \sqrt{153}$, а $\sqrt{153} > \sqrt{81} = 9$, то $-9 + 3\sqrt{17} > 0$, что не удовлетворяет условию $x < 0$.

Корень $x_4 = \frac{-9 - 3\sqrt{17}}{2}$ очевидно отрицателен, корень подходит.

Ответ: $\{3, 6, \frac{-9 - 3\sqrt{17}}{2}\}$.

8) $x |x| - 15x - 54 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.

$x \cdot x - 15x - 54 = 0$

$x^2 - 15x - 54 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 18$ и $x_2 = -3$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x_1 = 18$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x \cdot (-x) - 15x - 54 = 0$

$-x^2 - 15x - 54 = 0$

$x^2 + 15x + 54 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = -6$ и $x_4 = -9$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$.

Ответ: $\{-9, -6, 18\}$.

9) $x^2 - \frac{12x}{|x|} + 15 = 0$

Область допустимых значений: $|x| \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$.

$x^2 - \frac{12x}{x} + 15 = 0$

$x^2 - 12 + 15 = 0$

$x^2 + 3 = 0$

$x^2 = -3$. Действительных корней нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x^2 - \frac{12x}{-x} + 15 = 0$

$x^2 - (-12) + 15 = 0$

$x^2 + 12 + 15 = 0$

$x^2 + 27 = 0$

$x^2 = -27$. Действительных корней нет.

Так как ни в одном из случаев нет решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

10) $x |x| + \frac{x}{|x|} = 0$

Область допустимых значений: $|x| \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$.

$x \cdot x + \frac{x}{x} = 0$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$. Действительных корней нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.

$x \cdot (-x) + \frac{x}{-x} = 0$

$-x^2 - 1 = 0$

$x^2 = -1$. Действительных корней нет.

Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.