Номер 38, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38. Приведите пример уравнения вида $x^2 + n = 0$, которое:

1) имеет два целых корня;

2) имеет два рациональных корня;

3) имеет два иррациональных корня;

4) не имеет действительных корней.

1) имеет два целых корня;
Уравнение вида $x^2 + n = 0$ можно переписать как $x^2 = -n$. Корнями этого уравнения являются $x = \pm\sqrt{-n}$.
Чтобы уравнение имело два целых корня, необходимо, чтобы выражение $\sqrt{-n}$ было целым числом, отличным от нуля. Пусть $\sqrt{-n} = k$, где $k$ – целое число и $k \neq 0$.
Тогда $-n = k^2$, или $n = -k^2$.
Выберем любое целое число для $k$, например, $k = 3$.
Тогда $n = -3^2 = -9$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 - 9 = 0$.
Решим его: $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба корня являются целыми числами.
Ответ: $x^2 - 9 = 0$.

2) имеет два рациональных корня;
Корни уравнения $x^2 + n = 0$ равны $x = \pm\sqrt{-n}$.
Чтобы корни были рациональными, выражение $\sqrt{-n}$ должно быть рациональным числом, отличным от нуля. Пусть $\sqrt{-n} = q$, где $q$ – рациональное число и $q \neq 0$.
Тогда $n = -q^2$.
Выберем любое рациональное, но не целое число для $q$, например, $q = \frac{2}{5}$.
Тогда $n = -(\frac{2}{5})^2 = -\frac{4}{25}$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 - \frac{4}{25} = 0$.
Решим его: $x^2 = \frac{4}{25}$, откуда $x_1 = \frac{2}{5}$ и $x_2 = -\frac{2}{5}$. Оба корня являются рациональными числами.
Ответ: $x^2 - \frac{4}{25} = 0$.

3) имеет два иррациональных корня;
Корни уравнения $x^2 + n = 0$ равны $x = \pm\sqrt{-n}$.
Чтобы корни были иррациональными, выражение $\sqrt{-n}$ должно быть иррациональным числом. Это означает, что число $-n$ должно быть положительным и не являться полным квадратом рационального числа.
Выберем для $-n$ любое положительное число, которое не является полным квадратом, например, $-n = 5$.
Тогда $n = -5$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 - 5 = 0$.
Решим его: $x^2 = 5$, откуда $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$. Оба корня являются иррациональными числами.
Ответ: $x^2 - 5 = 0$.

4) не имеет действительных корней.
Корни уравнения $x^2 + n = 0$ равны $x = \pm\sqrt{-n}$.
Уравнение не имеет действительных корней, если подкоренное выражение отрицательно, то есть $-n < 0$.
Это неравенство эквивалентно $n > 0$.
Выберем любое положительное число для $n$, например, $n = 4$.
Подставим это значение $n$ в исходное уравнение: $x^2 + 4 = 0$.
Перепишем его как $x^2 = -4$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$.