Номер 32, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

32. Составьте квадратное уравнение по его корням:

1) 2; 7;

2) -3; 5;

3) -1; 4;

4) -2,1; -0,3;

5) 0,2; 5,3;

6) -5; 5;

7) $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{5}$;

8) $3\frac{4}{5}$; $2\frac{3}{5}$;

9) $-\sqrt{7}$; $\sqrt{7}$;

10) $5 \pm \sqrt{3}$;

11) $-3 \pm \sqrt{5}$;

12) $\sqrt{2}$; $\sqrt{11}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема Виета. Согласно ей, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком ($x_1+x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$).

Таким образом, любое приведенное квадратное уравнение можно записать в виде $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$. Обозначим сумму корней как $S = x_1+x_2$ и произведение как $P = x_1 \cdot x_2$. Тогда формула примет вид: $x^2 - Sx + P = 0$.

1)

Даны корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = 2 + 7 = 9$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 7 = 14$.

Подставляем значения $S$ и $P$ в формулу $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 9x + 14 = 0$.

Ответ: $x^2 - 9x + 14 = 0$.

2)

Даны корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 5 = -15$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 2x + (-15) = 0$.

$x^2 - 2x - 15 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

3)

Даны корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -1 + 4 = 3$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 4 = -4$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 3x + (-4) = 0$.

$x^2 - 3x - 4 = 0$.

Ответ: $x^2 - 3x - 4 = 0$.

4)

Даны корни $x_1 = -2,1$ и $x_2 = -0,3$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -2,1 + (-0,3) = -2,4$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-2,1) \cdot (-0,3) = 0,63$.

Приведенное уравнение: $x^2 - (-2,4)x + 0,63 = 0$, или $x^2 + 2,4x + 0,63 = 0$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 100:

$100x^2 + 240x + 63 = 0$.

Ответ: $100x^2 + 240x + 63 = 0$.

5)

Даны корни $x_1 = 0,2$ и $x_2 = 5,3$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = 0,2 + 5,3 = 5,5$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 0,2 \cdot 5,3 = 1,06$.

Приведенное уравнение: $x^2 - 5,5x + 1,06 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы получить целые коэффициенты: $100x^2 - 550x + 106 = 0$.

Все коэффициенты четные, поэтому можно сократить на 2: $50x^2 - 275x + 53 = 0$.

Ответ: $50x^2 - 275x + 53 = 0$.

6)

Даны корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -5 + 5 = 0$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -5 \cdot 5 = -25$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 0 \cdot x + (-25) = 0$.

$x^2 - 25 = 0$.

Ответ: $x^2 - 25 = 0$.

7)

Даны корни $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3}{5}$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} = \frac{5}{10} + \frac{6}{10} = \frac{11}{10}$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.

Приведенное уравнение: $x^2 - \frac{11}{10}x + \frac{3}{10} = 0$.

Умножим обе части на 10, чтобы получить целые коэффициенты:

$10x^2 - 11x + 3 = 0$.

Ответ: $10x^2 - 11x + 3 = 0$.

8)

Даны корни $x_1 = 3\frac{4}{5}$ и $x_2 = 2\frac{3}{5}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $x_1 = \frac{19}{5}$ и $x_2 = \frac{13}{5}$.

Находим сумму корней: $S = \frac{19}{5} + \frac{13}{5} = \frac{32}{5}$.

Находим произведение корней: $P = \frac{19}{5} \cdot \frac{13}{5} = \frac{247}{25}$.

Приведенное уравнение: $x^2 - \frac{32}{5}x + \frac{247}{25} = 0$.

Умножим обе части на 25, чтобы получить целые коэффициенты:

$25x^2 - 25 \cdot \frac{32}{5}x + 25 \cdot \frac{247}{25} = 0$.

$25x^2 - 160x + 247 = 0$.

Ответ: $25x^2 - 160x + 247 = 0$.

9)

Даны корни $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7}) \cdot \sqrt{7} = -7$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$.

$x^2 - 7 = 0$.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

10)

Даны корни $x_1 = 5 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 5 - \sqrt{3}$.

Находим сумму корней: $S = (5 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) = 10$.

Находим произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$P = (5 + \sqrt{3})(5 - \sqrt{3}) = 5^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - 10x + 22 = 0$.

Ответ: $x^2 - 10x + 22 = 0$.

11)

Даны корни $x_1 = -3 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{5}$.

Находим сумму корней: $S = (-3 + \sqrt{5}) + (-3 - \sqrt{5}) = -6$.

Находим произведение корней: $P = (-3 + \sqrt{5})(-3 - \sqrt{5}) = (-3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - (-6)x + 4 = 0$.

$x^2 + 6x + 4 = 0$.

Ответ: $x^2 + 6x + 4 = 0$.

12)

Даны корни $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{11}$.

Находим сумму корней: $S = x_1 + x_2 = \sqrt{2} + \sqrt{11}$.

Находим произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{22}$.

Подставляем значения в формулу: $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{11})x + \sqrt{22} = 0$.

Ответ: $x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{11})x + \sqrt{22} = 0$.