Номер 29, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29. Разложите на множители квадратный трехчлен:

1) $-2x^2 + 10x - 8;$

2) $x^2 - 11x + 10;$

3) $-2x^2 + 7x - 5;$

4) $3x^2 + 4x - 7;$

5) $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2;$

6) $0,5x^2 - 6x + 5,5;$

7) $-2x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3};$

8) $0,3x^2 + 3x - 3,3.$

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1) $-2x^2 + 10x - 8$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $-2x^2 + 10x - 8 = 0$. Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на $-2$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$

$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$

Теперь подставим корни в формулу разложения. Старший коэффициент исходного трехчлена $a = -2$.

$-2x^2 + 10x - 8 = -2(x - 4)(x - 1)$

Ответ: $-2(x - 4)(x - 1)$.

2) $x^2 - 11x + 10$

Найдем корни уравнения $x^2 - 11x + 10 = 0$. Коэффициент $a=1$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 11$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 10$. Отсюда корни $x_1 = 10$ и $x_2 = 1$.

Либо через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.

$x_1 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2} = \frac{11 + 9}{2} = 10$

$x_2 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2} = \frac{11 - 9}{2} = 1$

Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 11x + 10 = (x - 10)(x - 1)$

Ответ: $(x - 10)(x - 1)$.

3) $-2x^2 + 7x - 5$

Найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x - 5 = 0$. Старший коэффициент $a=-2$.

$D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5) = 49 - 40 = 9$

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-7 + 3}{-4} = 1$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-7 - 3}{-4} = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$

Подставляем корни и коэффициент $a$ в формулу: $-2(x - 1)(x - \frac{5}{2})$.

Для получения множителей с целыми коэффициентами, внесем множитель $-2$ во вторую скобку:

$-2(x - 1)(x - \frac{5}{2}) = (x - 1) \cdot (-2)(x - \frac{5}{2}) = (x-1)(-2x+5) = (x-1)(5-2x)$

Ответ: $(x-1)(5-2x)$.

4) $3x^2 + 4x - 7$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 4x - 7 = 0$. Старший коэффициент $a=3$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$

Подставляем корни и коэффициент $a$ в формулу: $3(x - 1)(x - (-\frac{7}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{7}{3})$.

Внесем множитель 3 во вторую скобку:

$3(x-1)(x+\frac{7}{3}) = (x-1) \cdot 3(x+\frac{7}{3}) = (x-1)(3x+7)$

Ответ: $(x-1)(3x+7)$.

5) $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2$

Найдем корни уравнения $\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - 2 = 0$. Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: $x^2 + 3x - 4 = 0$.

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

Подставляем корни и старший коэффициент исходного трехчлена $a=\frac{1}{2}$ в формулу:

$\frac{1}{2}(x - 1)(x - (-4)) = \frac{1}{2}(x-1)(x+4)$

Ответ: $\frac{1}{2}(x-1)(x+4)$.

6) $0,5x^2 - 6x + 5,5$

Найдем корни уравнения $0,5x^2 - 6x + 5,5 = 0$. Умножим уравнение на 2: $x^2 - 12x + 11 = 0$.

По теореме Виета, $x_1+x_2=12$ и $x_1 \cdot x_2=11$, значит $x_1 = 1$, $x_2 = 11$.

Подставляем корни и старший коэффициент $a=0,5$ в формулу разложения:

$0,5(x - 1)(x - 11)$

Ответ: $0,5(x - 1)(x - 11)$.

7) $-2x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$

Вынесем общий множитель $-\frac{2}{3}$ за скобки, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$-2x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}(3x^2 - 2x - 1)$

Теперь разложим на множители трехчлен $3x^2 - 2x - 1$. Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Разложение для $3x^2 - 2x - 1$ равно $3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.

Полное выражение: $-\frac{2}{3}(x-1)(3x+1)$.

Ответ: $-\frac{2}{3}(x-1)(3x+1)$.

8) $0,3x^2 + 3x - 3,3$

Вынесем общий множитель $0,3$ за скобки:

$0,3x^2 + 3x - 3,3 = 0,3(x^2 + 10x - 11)$

Разложим на множители $x^2 + 10x - 11$. Найдем корни уравнения $x^2 + 10x - 11 = 0$.

По теореме Виета, $x_1+x_2=-10$ и $x_1 \cdot x_2=-11$, значит $x_1 = 1$, $x_2 = -11$.

Разложение для $x^2 + 10x - 11$ равно $(x-1)(x-(-11)) = (x-1)(x+11)$.

Полное выражение: $0,3(x-1)(x+11)$.

Ответ: $0,3(x-1)(x+11)$.