Номер 23, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{(-5x)^2}$;

2) $\sqrt{(-a)^2(-x)^8}$;

3) $0,5\sqrt{20y^2}$;

4) $0,1\sqrt{75x^3}$;

5) $a\sqrt{18x^2y}$;

6) $0,5\sqrt{169a^2}$;

7) $0,2\sqrt{2,25a^7}$;

8) $-m^2\sqrt{0,81ym^4}$;

9) $\sqrt{0,09a^2c}$, где $a < 0$;

10) $\frac{1}{x^3}\sqrt{-x^3}$;

11) $2,1\sqrt{2500x^4}$, где $x > 0$;

12) $\sqrt{1,96a^3b^3}$, где $a < 0, b < 0$;

13) $\sqrt{50y^4x^3}$;

14) $a\sqrt{-3x^3a^4}$.

1) Для вынесения множителя из-под знака корня воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(-5x)^2} = |-5x| = |-5| \cdot |x| = 5|x|$

Ответ: $5|x|$.

2) Используем свойства степеней и корней: $(-a)^2 = a^2$ и $(-x)^8 = ((-x)^4)^2 = x^8 = (x^4)^2$.

$\sqrt{(-a)^2 (-x)^8} = \sqrt{a^2 (x^4)^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{(x^4)^2} = |a| \cdot |x^4|$

Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $|x^4| = x^4$.

$\sqrt{(-a)^2 (-x)^8} = |a|x^4$

Ответ: $|a|x^4$.

3) Разложим подкоренное выражение на множители: $20 = 4 \cdot 5$.

$0,5\sqrt{20y^2} = 0,5\sqrt{4 \cdot 5 \cdot y^2} = 0,5 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{y^2} \cdot \sqrt{5} = 0,5 \cdot 2 \cdot |y| \cdot \sqrt{5} = |y|\sqrt{5}$

Ответ: $|y|\sqrt{5}$.

4) Область допустимых значений: $75x^3 \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $75 = 25 \cdot 3$ и $x^3 = x^2 \cdot x$.

$0,1\sqrt{75x^3} = 0,1\sqrt{25 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot x} = 0,1 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{3x} = 0,1 \cdot 5 \cdot |x| \cdot \sqrt{3x}$

Поскольку $x \ge 0$, то $|x| = x$.

$0,1 \cdot 5x\sqrt{3x} = 0,5x\sqrt{3x}$

Ответ: $0,5x\sqrt{3x}$.

5) Область допустимых значений: $18x^2y \ge 0$. Так как $18>0$ и $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $18 = 9 \cdot 2$.

$a\sqrt{18x^2y} = a\sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot y} = a \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2y} = a \cdot 3 \cdot |x| \cdot \sqrt{2y} = 3a|x|\sqrt{2y}$

Ответ: $3a|x|\sqrt{2y}$.

6) Используем свойство $\sqrt{a^2}=|a|$.

$0,5\sqrt{169a^2} = 0,5 \cdot \sqrt{169} \cdot \sqrt{a^2} = 0,5 \cdot 13 \cdot |a| = 6,5|a|$

Ответ: $6,5|a|$.

7) Область допустимых значений: $2,25a^7 \ge 0$, откуда $a \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $a^7 = a^6 \cdot a = (a^3)^2 \cdot a$.

$0,2\sqrt{2,25a^7} = 0,2\sqrt{1,5^2 \cdot (a^3)^2 \cdot a} = 0,2 \cdot \sqrt{1,5^2} \cdot \sqrt{(a^3)^2} \cdot \sqrt{a} = 0,2 \cdot 1,5 \cdot |a^3| \cdot \sqrt{a}$

Так как $a \ge 0$, то $a^3 \ge 0$, и $|a^3|=a^3$.

$0,2 \cdot 1,5 \cdot a^3\sqrt{a} = 0,3a^3\sqrt{a}$

Ответ: $0,3a^3\sqrt{a}$.

8) Область допустимых значений: $0,81ym^4 \ge 0$. Так как $m^4 \ge 0$, то $y \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $m^4 = (m^2)^2$.

$-m^2\sqrt{0,81ym^4} = -m^2\sqrt{0,9^2 \cdot y \cdot (m^2)^2} = -m^2 \cdot \sqrt{0,9^2} \cdot \sqrt{(m^2)^2} \cdot \sqrt{y} = -m^2 \cdot 0,9 \cdot |m^2| \cdot \sqrt{y}$

Так как $m^2 \ge 0$, то $|m^2|=m^2$.

$-m^2 \cdot 0,9 \cdot m^2\sqrt{y} = -0,9m^4\sqrt{y}$

Ответ: $-0,9m^4\sqrt{y}$.

9) Область допустимых значений: $0,09a^2c \ge 0$. Так как $a^2>0$ (по условию $a<0$), то $c \ge 0$.

$\sqrt{0,09a^2c} = \sqrt{0,3^2 \cdot a^2 \cdot c} = \sqrt{0,3^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{c} = 0,3|a|\sqrt{c}$

По условию $a < 0$, следовательно $|a| = -a$.

$0,3(-a)\sqrt{c} = -0,3a\sqrt{c}$

Ответ: $-0,3a\sqrt{c}$.

10) Область допустимых значений: $-x^3 \ge 0$, откуда $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$. Также из знаменателя следует, что $x \ne 0$, поэтому $x < 0$. Разложим подкоренное выражение: $-x^3 = -x \cdot x^2$.

$\frac{1}{x^3}\sqrt{-x^3} = \frac{1}{x^3}\sqrt{x^2 \cdot (-x)} = \frac{1}{x^3} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{-x} = \frac{1}{x^3} \cdot |x| \cdot \sqrt{-x}$

Так как $x < 0$, то $|x| = -x$.

$\frac{1}{x^3} \cdot (-x) \cdot \sqrt{-x} = -\frac{x}{x^3}\sqrt{-x} = -\frac{1}{x^2}\sqrt{-x}$

Ответ: $-\frac{1}{x^2}\sqrt{-x}$.

11) Разложим подкоренное выражение: $2500 = 50^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. Условие $x > 0$ обеспечивает, что выражение определено.

$2,1\sqrt{2500x^4} = 2,1\sqrt{50^2 \cdot (x^2)^2} = 2,1 \cdot \sqrt{50^2} \cdot \sqrt{(x^2)^2} = 2,1 \cdot 50 \cdot |x^2|$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $|x^2|=x^2$.

$2,1 \cdot 50 \cdot x^2 = 105x^2$

Ответ: $105x^2$.

12) Область допустимых значений: $a^3b^3 = (ab)^3 \ge 0$, что означает $ab \ge 0$. По условию $a < 0$ и $b < 0$, произведение $ab > 0$, так что условие выполняется. Разложим подкоренное выражение: $a^3b^3 = a^2b^2 \cdot ab$.

$\sqrt{1,96a^3b^3} = \sqrt{1,4^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot ab} = \sqrt{1,4^2} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ab} = 1,4|a||b|\sqrt{ab}$

По условию $a < 0$ и $b < 0$, значит $|a| = -a$ и $|b| = -b$.

$1,4(-a)(-b)\sqrt{ab} = 1,4ab\sqrt{ab}$

Ответ: $1,4ab\sqrt{ab}$.

13) Область допустимых значений: $50y^4x^3 \ge 0$. Так как $y^4 \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Разложим подкоренное выражение: $50 = 25 \cdot 2$, $y^4 = (y^2)^2$, $x^3 = x^2 \cdot x$.

$\sqrt{50y^4x^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot (y^2)^2 \cdot x^2 \cdot x} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{(y^2)^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2x} = 5|y^2||x|\sqrt{2x}$

Так как $y^2 \ge 0$ и $x \ge 0$, то $|y^2|=y^2$ и $|x|=x$.

$5y^2x\sqrt{2x}$

Ответ: $5xy^2\sqrt{2x}$.

14) Область допустимых значений: $-3x^3a^4 \ge 0$. Так как $a^4 \ge 0$ и $-3 < 0$, то $x^3 \le 0$, что означает $x \le 0$. Разложим подкоренное выражение: $x^3 = x^2 \cdot x$, $a^4 = (a^2)^2$.

$a\sqrt{-3x^3a^4} = a\sqrt{-3 \cdot x \cdot x^2 \cdot (a^2)^2} = a\sqrt{x^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (-3x)} = a \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{-3x} = a|x||a^2|\sqrt{-3x}$

Так как $x \le 0$, то $|x| = -x$. Так как $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$.

$a(-x)a^2\sqrt{-3x} = -a^3x\sqrt{-3x}$

Ответ: $-a^3x\sqrt{-3x}$.