Номер 18, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Найдите значение числового выражения:

1) $ \frac{5}{11 - 2\sqrt{10}} + \frac{5}{11 + 2\sqrt{10}}; $

2) $ \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{11} + \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}; $

3) $ \frac{5}{3 - 2\sqrt{3}} + \frac{5}{3 + 2\sqrt{3}}; $

4) $ \frac{12 + \sqrt{44}}{12 - \sqrt{44}} + \frac{12 - \sqrt{44}}{12 + \sqrt{44}}. $

1)

Чтобы сложить две дроби с иррациональными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{5}{11 - 2\sqrt{10}}$ и $\frac{5}{11 + 2\sqrt{10}}$ равен произведению их знаменателей: $(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})$.

Для вычисления знаменателя используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10}) = 11^2 - (2\sqrt{10})^2 = 121 - 4 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их. Дополнительный множитель для первой дроби — $(11 + 2\sqrt{10})$, а для второй — $(11 - 2\sqrt{10})$.

$\frac{5(11 + 2\sqrt{10})}{(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})} + \frac{5(11 - 2\sqrt{10})}{(11 + 2\sqrt{10})(11 - 2\sqrt{10})} = \frac{5(11 + 2\sqrt{10}) + 5(11 - 2\sqrt{10})}{81}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{55 + 10\sqrt{10} + 55 - 10\sqrt{10}}{81} = \frac{110}{81}$.

Ответ: $\frac{110}{81}$.

2)

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3})$.

По формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ найдем значение знаменателя:

$(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8$.

Теперь выполним вычитание дробей, домножив числитель первой дроби на $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$, а второй на $(\sqrt{11} + \sqrt{3})$:

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3})(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8} - \frac{(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} + \sqrt{3})}{8} = \frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{11} + \sqrt{3})^2}{8}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 - 2\sqrt{33} + 3 = 14 - 2\sqrt{33}$.

$(\sqrt{11} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 + 2\sqrt{33} + 3 = 14 + 2\sqrt{33}$.

Подставим полученные выражения в числитель:

$\frac{(14 - 2\sqrt{33}) - (14 + 2\sqrt{33})}{8} = \frac{14 - 2\sqrt{33} - 14 - 2\sqrt{33}}{8} = \frac{-4\sqrt{33}}{8} = -\frac{\sqrt{33}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{33}}{2}$.

3)

Для сложения дробей найдем общий знаменатель: $(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3}) = 3^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 - 4 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Теперь выполним сложение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{5(3 + 2\sqrt{3})}{(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})} + \frac{5(3 - 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})} = \frac{5(3 + 2\sqrt{3}) + 5(3 - 2\sqrt{3})}{-3}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15 + 10\sqrt{3} + 15 - 10\sqrt{3}}{-3} = \frac{30}{-3} = -10$.

Ответ: $-10$.

4)

Сначала упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$.

Подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$\frac{12 + 2\sqrt{11}}{12 - 2\sqrt{11}} + \frac{12 - 2\sqrt{11}}{12 + 2\sqrt{11}}$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе и знаменателе каждой дроби и сократим его:

$\frac{2(6 + \sqrt{11})}{2(6 - \sqrt{11})} + \frac{2(6 - \sqrt{11})}{2(6 + \sqrt{11})} = \frac{6 + \sqrt{11}}{6 - \sqrt{11}} + \frac{6 - \sqrt{11}}{6 + \sqrt{11}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})$. По формуле разности квадратов:

$(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11}) = 6^2 - (\sqrt{11})^2 = 36 - 11 = 25$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{(6 + \sqrt{11})^2 + (6 - \sqrt{11})^2}{25}$.

Раскроем квадраты в числителе. Можно использовать формулы квадрата суммы и разности, или тождество $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$:

$2(6^2 + (\sqrt{11})^2) = 2(36 + 11) = 2(47) = 94$.

Подставим результат в дробь:

$\frac{94}{25}$.

Ответ: $\frac{94}{25}$.