Номер 20, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*20. Докажите, что является натуральным числом значение выражения:

1) $\sqrt{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} + \sqrt{6+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4\sqrt{2}};$

2) $\frac{7}{2\sqrt{2}+6} - \frac{7}{2\sqrt{2}-6};$

3) $8 + (\sqrt{7-2\sqrt{10}} + \sqrt{7+2\sqrt{10}}) \cdot \sqrt{5};$

4) $\frac{9}{8+2\sqrt{7}} + \frac{9}{8-2\sqrt{7}}.$

1) Для доказательства преобразуем данное выражение. Выражение состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое по отдельности.

Первое слагаемое: $ \sqrt{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} $.

Воспользуемся свойством произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $ и формулой разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $.

$ \sqrt{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 4 \cdot 3} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4} = 2 $.

Второе слагаемое: $ \sqrt{6+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4\sqrt{2}} $.

Аналогично первому слагаемому:

$ \sqrt{6+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 16 \cdot 2} = \sqrt{36-32} = \sqrt{4} = 2 $.

Сложим полученные значения:

$ 2 + 2 = 4 $.

Число 4 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 4.

2) Для доказательства упростим выражение $ \frac{7}{2\sqrt{2}+6} - \frac{7}{2\sqrt{2}-6} $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ (2\sqrt{2}+6)(2\sqrt{2}-6) $.

Используя формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, вычислим знаменатель:

$ (2\sqrt{2}+6)(2\sqrt{2}-6) = (2\sqrt{2})^2 - 6^2 = 4 \cdot 2 - 36 = 8 - 36 = -28 $.

Теперь преобразуем всё выражение:

$ \frac{7(2\sqrt{2}-6) - 7(2\sqrt{2}+6)}{(2\sqrt{2}+6)(2\sqrt{2}-6)} = \frac{14\sqrt{2} - 42 - (14\sqrt{2} + 42)}{-28} = \frac{14\sqrt{2} - 42 - 14\sqrt{2} - 42}{-28} = \frac{-84}{-28} = 3 $.

Число 3 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 3.

3) Для доказательства упростим выражение $ 8 + (\sqrt{7-2\sqrt{10}} + \sqrt{7+2\sqrt{10}}) \cdot \sqrt{5} $.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Для этого воспользуемся формулой для сложных радикалов: $ \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} $, где $ x+y=a $ и $ xy=b $.

Для $ \sqrt{7-2\sqrt{10}} $: $ x+y=7 $ и $ xy=10 $. Подходят числа $ x=5 $ и $ y=2 $.

Значит, $ \sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{5}-\sqrt{2}| = \sqrt{5}-\sqrt{2} $ (так как $ \sqrt{5} > \sqrt{2} $).

Для $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} $: $ x+y=7 $ и $ xy=10 $. Подходят числа $ x=5 $ и $ y=2 $.

Значит, $ \sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2} $.

Теперь сложим эти два выражения:

$ (\sqrt{5}-\sqrt{2}) + (\sqrt{5}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{5} $.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$ 8 + (2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = 8 + 2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 8 + 2 \cdot 5 = 8 + 10 = 18 $.

Число 18 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 18.

4) Для доказательства упростим выражение $ \frac{9}{8+2\sqrt{7}} + \frac{9}{8-2\sqrt{7}} $.

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $ (8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7}) $.

Используя формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $, вычислим знаменатель:

$ (8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7}) = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 $.

Теперь преобразуем всё выражение:

$ \frac{9(8-2\sqrt{7}) + 9(8+2\sqrt{7})}{(8+2\sqrt{7})(8-2\sqrt{7})} = \frac{72 - 18\sqrt{7} + 72 + 18\sqrt{7}}{36} = \frac{144}{36} = 4 $.

Число 4 является натуральным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: 4.