Номер 27, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27. Найдите корни квадратного трехчлена:

1) $x^2 + 4x - 5$;

2) $x^2 - 14x - 15$;

3) $-x^2 + 4x + 12$;

4) $2x^2 + 3x - 5.$

Чтобы найти корни квадратного трехчлена, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни можно найти с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $x^2 + 4x - 5$
Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 + 4x - 5 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=4$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: 1; -5.

2) $x^2 - 14x - 15$
Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 - 14x - 15 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-14$, $c=-15$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: 15; -1.

3) $-x^2 + 4x + 12$
Приравняем трехчлен к нулю: $-x^2 + 4x + 12 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:
$x^2 - 4x - 12 = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=-12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Ответ: 6; -2.

4) $2x^2 + 3x - 5$
Приравняем трехчлен к нулю: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=3$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2,5$.
Ответ: 1; -2,5.