Номер 26, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{2 - \sqrt{2y} + y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}} $;

2) $ \frac{9 + 3\sqrt{c} + c}{3 + \sqrt{c}} $;

3) $ \frac{a^2b + 3a\sqrt{b} + 9}{3 + a\sqrt{b}} $;

4) $ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1} $;

5) $ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1} $;

6) $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1} $.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2 - \sqrt{2y} + y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}} $, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{2} + \sqrt{y} $.
$ \frac{2 - \sqrt{2y} + y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}} = \frac{(2 - \sqrt{2y} + y)(\sqrt{2} + \sqrt{y})}{(\sqrt{2} - \sqrt{y})(\sqrt{2} + \sqrt{y})} $
В знаменателе применяем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ (\sqrt{2} - \sqrt{y})(\sqrt{2} + \sqrt{y}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{y})^2 = 2 - y $.
В числителе заметим, что выражение $ 2 - \sqrt{2y} + y $ можно представить как $ (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 $. Это неполный квадрат разности. При умножении его на сумму $ \sqrt{2} + \sqrt{y} $ получаем формулу суммы кубов $ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $:
$ (2 - \sqrt{2y} + y)(\sqrt{2} + \sqrt{y}) = ((\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)(\sqrt{2} + \sqrt{y}) = (\sqrt{2})^3 + (\sqrt{y})^3 = 2\sqrt{2} + y\sqrt{y} $.
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{2\sqrt{2} + y\sqrt{y}}{2 - y} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{2} + y\sqrt{y}}{2-y} $.

2) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{9 + 3\sqrt{c} + c}{3 + \sqrt{c}} $, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ 3 - \sqrt{c} $.
$ \frac{9 + 3\sqrt{c} + c}{3 + \sqrt{c}} = \frac{(9 + 3\sqrt{c} + c)(3 - \sqrt{c})}{(3 + \sqrt{c})(3 - \sqrt{c})} $
В знаменателе применяем формулу разности квадратов:
$ (3 + \sqrt{c})(3 - \sqrt{c}) = 3^2 - (\sqrt{c})^2 = 9 - c $.
В числителе выражение $ 9 + 3\sqrt{c} + c $ можно представить как $ 3^2 + 3\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2 $. Это неполный квадрат суммы. При умножении его на разность $ 3 - \sqrt{c} $ получаем формулу разности кубов $ (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 $:
$ (9 + 3\sqrt{c} + c)(3 - \sqrt{c}) = (3^2 + 3\sqrt{c} + (\sqrt{c})^2)(3 - \sqrt{c}) = 3^3 - (\sqrt{c})^3 = 27 - c\sqrt{c} $.
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{27 - c\sqrt{c}}{9 - c} $.
Ответ: $ \frac{27 - c\sqrt{c}}{9-c} $.

3) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{a^2b + 3a\sqrt{b} + 9}{3 + a\sqrt{b}} $, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ 3 - a\sqrt{b} $.
$ \frac{a^2b + 3a\sqrt{b} + 9}{3 + a\sqrt{b}} = \frac{(a^2b + 3a\sqrt{b} + 9)(3 - a\sqrt{b})}{(3 + a\sqrt{b})(3 - a\sqrt{b})} $
В знаменателе применяем формулу разности квадратов:
$ (3 + a\sqrt{b})(3 - a\sqrt{b}) = 3^2 - (a\sqrt{b})^2 = 9 - a^2b $.
В числителе, если обозначить $ x = a\sqrt{b} $, то выражение $ a^2b + 3a\sqrt{b} + 9 $ примет вид $ x^2 + 3x + 9 $. Тогда произведение в числителе будет $ (x^2+3x+9)(3-x) $. Это соответствует формуле разности кубов $ (k-m)(k^2+km+m^2)=k^3-m^3 $ для $ k=3, m=x $.
$ (9 + 3a\sqrt{b} + a^2b)(3 - a\sqrt{b}) = 3^3 - (a\sqrt{b})^3 = 27 - a^3b\sqrt{b} $.
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{27 - a^3b\sqrt{b}}{9 - a^2b} $.
Ответ: $ \frac{27 - a^3b\sqrt{b}}{9-a^2b} $.

4) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1} $ три слагаемых. Сгруппируем их: $ \sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1) $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1) $.
$ \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3} - (\sqrt{2} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{3} + (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - 1)^2} $
Упростим знаменатель:
$ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - ((\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) = 3 - (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 3 - (3 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $.
Получили дробь $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} $. Теперь избавимся от иррациональности $ \sqrt{2} $, домножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $.
$ \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1) \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{2} - 1\sqrt{2}}{2(\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6} + 2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} + 2 - \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{2 - \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} $.

5) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1} $ сгруппируем слагаемые: $ \sqrt{5} - (\sqrt{2} + 1) $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{5} + (\sqrt{2} + 1) $.
$ \frac{1}{\sqrt{5} - (\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{5} + (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{5} + (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2} + 1)^2} $
Упростим знаменатель:
$ 5 - (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 5 - (3 + 2\sqrt{2}) = 2 - 2\sqrt{2} $.
Получили дробь $ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1}{2 - 2\sqrt{2}} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 2 - 2\sqrt{2} $, то есть на $ 2 + 2\sqrt{2} $.
$ \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2} + 1)(2 + 2\sqrt{2})}{(2 - 2\sqrt{2})(2 + 2\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{4} + 2 + 2\sqrt{2}}{2^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 4\sqrt{2} + 4 + 2}{4 - 8} = \frac{6 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10}}{-4} $.
Сократим дробь на -2:
$ -\frac{3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{10}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} $.

6) В знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} - 1} $ сгруппируем слагаемые: $ (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 1 $.
$ \frac{1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1} \cdot \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 1} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 - 1^2} $
Упростим знаменатель:
$ (6 + 2\sqrt{12} + 2) - 1 = 8 + 2\sqrt{4 \cdot 3} - 1 = 7 + 4\sqrt{3} $.
Получили дробь $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1}{7 + 4\sqrt{3}} $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 7 + 4\sqrt{3} $, то есть на $ 7 - 4\sqrt{3} $.
$ \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1)(7 - 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \frac{7\sqrt{6} - 4\sqrt{18} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 7 - 4\sqrt{3}}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} $
Знаменатель равен $ 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1 $.
Упростим числитель:
$ 7\sqrt{6} - 4\sqrt{9 \cdot 2} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 7 - 4\sqrt{3} = 7\sqrt{6} - 12\sqrt{2} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 7 - 4\sqrt{3} = (7-4)\sqrt{6} + (-12+7)\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 7 = 3\sqrt{6} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 7 $.
Ответ: $ 7 - 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{6} $.