Номер 22, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Преобразуйте выражение:

1) $\sqrt{a^8 b^2}$;

2) $\sqrt{\frac{16a^{16}}{9b^{14}}}$ при $b > 0$;

3) $\sqrt{b^{10} x^8}$ при $b \ge 0$;

4) $\sqrt{25x^8 a^{12}}$;

5) $\sqrt{\frac{4x^6}{y^2}}$ при $x < 0, y < 0$;

6) $\sqrt{0,25 p^6 y^{10}}$ при $p \ge 0, y \le 0.$

1) Для преобразования выражения $\sqrt{a^8b^2}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt{XY} = \sqrt{X}\sqrt{Y}$ и определением арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{a^8b^2} = \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{b^2}$.
Представим $a^8$ в виде $(a^4)^2$. Тогда $\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$. Поскольку любое число в четной степени ($a^4$) является неотрицательным, то $|a^4| = a^4$.
Для второго множителя имеем $\sqrt{b^2} = |b|$. Так как нет информации о знаке переменной $b$, мы должны сохранить модуль.
Объединив результаты, получаем: $\sqrt{a^8b^2} = a^4|b|$.
Ответ: $a^4|b|$.

2) Для преобразования выражения $\sqrt{\frac{16a^{16}}{9b^{14}}}$ при $b > 0$ воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt{\frac{X}{Y}} = \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{Y}}$.
$\sqrt{\frac{16a^{16}}{9b^{14}}} = \frac{\sqrt{16a^{16}}}{\sqrt{9b^{14}}}$.
Рассмотрим числитель: $\sqrt{16a^{16}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{(a^8)^2} = 4|a^8|$. Так как $a^8$ всегда неотрицательно, $|a^8| = a^8$. Таким образом, числитель равен $4a^8$.
Рассмотрим знаменатель: $\sqrt{9b^{14}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{(b^7)^2} = 3|b^7|$. По условию задачи $b > 0$, следовательно, $b^7$ также будет больше нуля, поэтому $|b^7| = b^7$. Знаменатель равен $3b^7$.
Итоговый результат: $\frac{4a^8}{3b^7}$.
Ответ: $\frac{4a^8}{3b^7}$.

3) Для преобразования выражения $\sqrt{b^{10}x^8}$ при $b \ge 0$ используем свойство корня из произведения.
$\sqrt{b^{10}x^8} = \sqrt{b^{10}} \cdot \sqrt{x^8}$.
Упростим первый множитель: $\sqrt{b^{10}} = \sqrt{(b^5)^2} = |b^5|$. Согласно условию $b \ge 0$, выражение $b^5$ будет неотрицательным, поэтому $|b^5| = b^5$.
Упростим второй множитель: $\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, поэтому $|x^4| = x^4$.
Перемножив результаты, получаем: $b^5x^4$.
Ответ: $b^5x^4$.

4) Преобразуем выражение $\sqrt{25x^8a^{12}}$.
$\sqrt{25x^8a^{12}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{a^{12}}$.
$\sqrt{25} = 5$.
$\sqrt{x^8} = \sqrt{(x^4)^2} = |x^4|$. Так как $x^4 \ge 0$ при любом $x$, то $|x^4| = x^4$.
$\sqrt{a^{12}} = \sqrt{(a^6)^2} = |a^6|$. Так как $a^6 \ge 0$ при любом $a$, то $|a^6| = a^6$.
Объединив множители, получаем: $5x^4a^6$.
Ответ: $5x^4a^6$.

5) Преобразуем выражение $\sqrt{\frac{4x^6}{y^2}}$ при $x < 0, y < 0$.
$\sqrt{\frac{4x^6}{y^2}} = \frac{\sqrt{4x^6}}{\sqrt{y^2}}$.
Рассмотрим числитель: $\sqrt{4x^6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(x^3)^2} = 2|x^3|$. По условию $x < 0$, следовательно, $x^3$ (число в нечетной степени) будет отрицательным. Поэтому $|x^3| = -x^3$. Числитель равен $2(-x^3) = -2x^3$.
Рассмотрим знаменатель: $\sqrt{y^2} = |y|$. По условию $y < 0$, поэтому $|y| = -y$.
Объединяем числитель и знаменатель: $\frac{-2x^3}{-y} = \frac{2x^3}{y}$.
Ответ: $\frac{2x^3}{y}$.

6) Преобразуем выражение $\sqrt{0.25p^6y^{10}}$ при $p \ge 0, y \le 0$.
$\sqrt{0.25p^6y^{10}} = \sqrt{0.25} \cdot \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{y^{10}}$.
$\sqrt{0.25} = 0.5$.
$\sqrt{p^6} = \sqrt{(p^3)^2} = |p^3|$. По условию $p \ge 0$, значит $p^3$ неотрицательно, и $|p^3| = p^3$.
$\sqrt{y^{10}} = \sqrt{(y^5)^2} = |y^5|$. По условию $y \le 0$, значит $y^5$ (число в нечетной степени) будет неположительным, и $|y^5| = -y^5$.
Перемножая результаты, получаем: $0.5 \cdot p^3 \cdot (-y^5) = -0.5p^3y^5$.
Ответ: $-0.5p^3y^5$.