Номер 31, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 7x - 8}{x - 8}$;

2) $\frac{x^2 - 9x + 8}{x - 1}$;

3) $\frac{2x^2 + 7x - 9}{x - 1}$;

4) $\frac{3x^2 - 7x - 10}{x + 1}$;

5) $\frac{2x^2 - 7x - 9}{x^2 + x}$;

6) $\frac{3x^2 - 9x + 6}{x^2 - x}$;

7) $\frac{5x^2 + 7x - 12}{x^2 - 1}$;

8) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 7x - 8}{x - 8}$, необходимо разложить числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1$.

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$: $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x - (-1)) = (x - 8)(x + 1)$.

Подставим полученное выражение в дробь: $\frac{(x - 8)(x + 1)}{x - 8}$.

Сократим на общий множитель $(x - 8)$, при условии что $x \neq 8$. Получим $x + 1$.

Ответ: $x + 1$.

2) Сократим дробь $\frac{x^2 - 9x + 8}{x - 1}$. Для этого разложим числитель $x^2 - 9x + 8$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = 8$;

$x_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = 1$.

Разложение числителя: $x^2 - 9x + 8 = (x - 8)(x - 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 8)(x - 1)}{x - 1}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$. Получим $x - 8$.

Ответ: $x - 8$.

3) Сократим дробь $\frac{2x^2 + 7x - 9}{x - 1}$. Разложим на множители числитель $2x^2 + 7x - 9$, решив уравнение $2x^2 + 7x - 9 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 11}{4} = 1$;

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 11}{4} = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$.

Разложение числителя: $2(x - 1)(x + \frac{9}{2}) = (x - 1)(2x + 9)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 1)(2x + 9)}{x - 1}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$. Получим $2x + 9$.

Ответ: $2x + 9$.

4) Сократим дробь $\frac{3x^2 - 7x - 10}{x + 1}$. Разложим на множители числитель $3x^2 - 7x - 10$, решив уравнение $3x^2 - 7x - 10 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 49 + 120 = 169$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 13}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$;

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 13}{6} = -1$.

Разложение числителя: $3(x - \frac{10}{3})(x + 1) = (3x - 10)(x + 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(3x - 10)(x + 1)}{x + 1}$.

Сократим на $(x + 1)$ при $x \neq -1$. Получим $3x - 10$.

Ответ: $3x - 10$.

5) Сократим дробь $\frac{2x^2 - 7x - 9}{x^2 + x}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $2x^2 - 7x - 9$ решим уравнение $2x^2 - 7x - 9 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$.

$x_1 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$; $x_2 = \frac{7 - 11}{4} = -1$.

Разложение числителя: $2(x - \frac{9}{2})(x + 1) = (2x - 9)(x + 1)$.

Разложим знаменатель, вынеся общий множитель за скобки: $x^2 + x = x(x + 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(2x - 9)(x + 1)}{x(x + 1)}$.

Сократим на $(x + 1)$ при $x \neq -1$ и $x \neq 0$. Получим $\frac{2x - 9}{x}$.

Ответ: $\frac{2x - 9}{x}$.

6) Сократим дробь $\frac{3x^2 - 9x + 6}{x^2 - x}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $3x^2 - 9x + 6$ вынесем 3 за скобки: $3(x^2 - 3x + 2)$. Решим уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 1$.

Разложение числителя: $3(x - 2)(x - 1)$.

Разложим знаменатель: $x^2 - x = x(x - 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{3(x - 2)(x - 1)}{x(x - 1)}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$ и $x \neq 0$. Получим $\frac{3(x - 2)}{x}$.

Ответ: $\frac{3(x - 2)}{x}$.

7) Сократим дробь $\frac{5x^2 + 7x - 12}{x^2 - 1}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя решим уравнение $5x^2 + 7x - 12 = 0$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289$.

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{10} = \frac{-7 + 17}{10} = 1$; $x_2 = \frac{-7 - 17}{10} = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$.

Разложение числителя: $5(x - 1)(x + \frac{12}{5}) = (x - 1)(5x + 12)$.

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 1)(5x + 12)}{(x - 1)(x + 1)}$.

Сократим на $(x - 1)$ при $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Получим $\frac{5x + 12}{x + 1}$.

Ответ: $\frac{5x + 12}{x + 1}$.

8) Сократим дробь $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 4}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя решим уравнение $2x^2 - 7x + 6 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$x_1 = \frac{7 + 1}{4} = 2$; $x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Разложение числителя: $2(x - 2)(x - \frac{3}{2}) = (x - 2)(2x - 3)$.

Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - 2)(2x - 3)}{(x - 2)(x + 2)}$.

Сократим на $(x - 2)$ при $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Получим $\frac{2x - 3}{x + 2}$.

Ответ: $\frac{2x - 3}{x + 2}$.