Номер 37, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37. Найдите корни дробно-рационального уравнения:

1) $ \frac{x}{x - 3} + \frac{x}{x + 2} = 1; $

2) $ \frac{2}{6 + x} + \frac{5}{x - 1} = 1; $

3) $ \frac{1}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} + \frac{10}{25 - x^2} = 0; $

4) $ \frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} - \frac{1}{x - 6} = 0; $

5) $ \frac{x^3 + 8}{2x + 4} = 5x - 8; $

6) $ \frac{8x^3 + 27}{2x + 3} = 6x - 5; $

7) $ \frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90; $

8) $ \frac{x^4 - 256}{x^2 - 16} = 8x + 9. $

1) $\frac{x}{x-3} + \frac{x}{x+2} = 1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x-3 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+2)$:

$\frac{x(x+2) + x(x-3)}{(x-3)(x+2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ:

$x(x+2) + x(x-3) = (x-3)(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2 + 2x + x^2 - 3x = x^2 + 2x - 3x - 6$

$2x^2 - x = x^2 - x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x - x^2 + x + 6 = 0$

$x^2 + 6 = 0$

$x^2 = -6$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: нет корней.

2) $\frac{2}{6+x} + \frac{5}{x-1} = 1$

ОДЗ: $6+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$ и $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Общий знаменатель: $(6+x)(x-1)$. Умножим на него обе части уравнения:

$2(x-1) + 5(6+x) = (6+x)(x-1)$

Раскроем скобки:

$2x - 2 + 30 + 5x = 6x - 6 + x^2 - x$

$7x + 28 = x^2 + 5x - 6$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 5x - 7x - 6 - 28 = 0$

$x^2 - 2x - 34 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-34) = 4 + 136 = 140$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{140}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{35}}{2} = 1 \pm \sqrt{35}$.

Оба корня $1 + \sqrt{35}$ и $1 - \sqrt{35}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1 - \sqrt{35}; 1 + \sqrt{35}$.

3) $\frac{1}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x+5} + \frac{10}{25 - x^2} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$, $25 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5)$.

Уравнение примет вид: $\frac{1}{(x-5)^2} - \frac{1}{x+5} - \frac{10}{(x-5)(x+5)} = 0$.

ОДЗ: $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.

Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)$. Умножим на него обе части:

$1(x+5) - 1(x-5)^2 - 10(x-5) = 0$

$x+5 - (x^2 - 10x + 25) - 10x + 50 = 0$

$x+5 - x^2 + 10x - 25 - 10x + 50 = 0$

$-x^2 + x + 30 = 0$

$x^2 - x - 30 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -5$ является посторонним. Корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $6$.

4) $\frac{2}{x^2 + 12x + 36} - \frac{12}{36 - x^2} - \frac{1}{x-6} = 0$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$, $36 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6)$.

Уравнение примет вид: $\frac{2}{(x+6)^2} - \frac{12}{-(x-6)(x+6)} - \frac{1}{x-6} = 0$, то есть $\frac{2}{(x+6)^2} + \frac{12}{(x-6)(x+6)} - \frac{1}{x-6} = 0$.

ОДЗ: $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$ и $x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

Общий знаменатель: $(x+6)^2(x-6)$. Умножим на него обе части:

$2(x-6) + 12(x+6) - 1(x+6)^2 = 0$

$2x - 12 + 12x + 72 - (x^2 + 12x + 36) = 0$

$14x + 60 - x^2 - 12x - 36 = 0$

$-x^2 + 2x + 24 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -4$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = 6$ является посторонним. Корень $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-4$.

5) $\frac{x^3 + 8}{2x + 4} = 5x - 8$

ОДЗ: $2x+4 \neq 0 \Rightarrow 2(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.

Знаменатель: $2x+4 = 2(x+2)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{2(x+2)} = 5x - 8$.

Сократим дробь на $(x+2)$ (т.к. $x \neq -2$):

$\frac{x^2 - 2x + 4}{2} = 5x - 8$

$x^2 - 2x + 4 = 2(5x - 8)$

$x^2 - 2x + 4 = 10x - 16$

$x^2 - 12x + 20 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$, $x_1 \cdot x_2 = 20$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 10$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 10$.

6) $\frac{8x^3 + 27}{2x + 3} = 6x - 5$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$.

Разложим числитель по формуле суммы кубов: $8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x+3)(4x^2 - 6x + 9)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(2x+3)(4x^2 - 6x + 9)}{2x + 3} = 6x - 5$.

Сократим дробь на $(2x+3)$ (т.к. $x \neq -3/2$):

$4x^2 - 6x + 9 = 6x - 5$

$4x^2 - 12x + 14 = 0$

Разделим на 2: $2x^2 - 6x + 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4(2)(7) = 36 - 56 = -20$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

7) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} = -8x - 90$

ОДЗ: $25 - x^2 \neq 0 \Rightarrow (5-x)(5+x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^4 - 625 = (x^2)^2 - 25^2 = (x^2-25)(x^2+25)$.

Знаменатель: $25-x^2 = -(x^2-25)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(x^2-25)(x^2+25)}{-(x^2-25)} = -8x - 90$.

Сократим дробь на $(x^2-25)$ (т.к. $x \neq \pm 5$):

$-(x^2+25) = -8x - 90$

$-x^2 - 25 = -8x - 90$

$x^2 - 8x - 65 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4(1)(-65) = 64 + 260 = 324 = 18^2$.

Корни: $x_1 = \frac{8 + 18}{2} = 13$, $x_2 = \frac{8 - 18}{2} = -5$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x = -5$ является посторонним. Корень $x = 13$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $13$.

8) $\frac{x^4 - 256}{x^2 - 16} = 8x + 9$

ОДЗ: $x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^4 - 256 = (x^2)^2 - 16^2 = (x^2-16)(x^2+16)$.

Подставим в уравнение: $\frac{(x^2-16)(x^2+16)}{x^2 - 16} = 8x + 9$.

Сократим дробь на $(x^2-16)$ (т.к. $x \neq \pm 4$):

$x^2 + 16 = 8x + 9$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 7$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 7$.