Номер 35, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35. Не вычисляя корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 4x - 9 = 0$ найдите:

1) $x_1^2 + x_2^2$;

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$;

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения $x_1$ и $x_2$ равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение равно $x_1x_2 = q$.

В данном уравнении $x^2 - 4x - 9 = 0$ коэффициенты равны $p = -4$ и $q = -9$.

Следовательно, для корней этого уравнения справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$

Произведение корней: $x_1x_2 = -9$

Используя эти два соотношения, найдем значения требуемых выражений.

1) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Выразим $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим известные значения $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1x_2 = -9$:

$x_1^2 + x_2^2 = (4)^2 - 2 \cdot (-9) = 16 + 18 = 34$

Ответ: 34

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-9) \cdot 4 = -36$

Ответ: -36

3) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Преобразуем его, чтобы использовать уже известные нам величины:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2)$

Из пункта 1 мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 34$. Подставим все известные значения в формулу:

$x_1^3 + x_2^3 = 4 \cdot (34 - (-9)) = 4 \cdot (34 + 9) = 4 \cdot 43 = 172$

Также можно использовать другую формулу: $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 4^3 - 3 \cdot (-9) \cdot 4 = 64 + 108 = 172$

Ответ: 172

4) $x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2$

Сначала найдем сумму четвертых степеней корней, $x_1^4 + x_2^4$. Для этого возведем в квадрат сумму квадратов корней, которую мы нашли в пункте 1:

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + x_2^4 + 2(x_1x_2)^2$

Отсюда выразим искомую сумму $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставим значения $x_1^2 + x_2^2 = 34$ и $x_1x_2 = -9$:

$x_1^4 + x_2^4 = 34^2 - 2 \cdot (-9)^2 = 1156 - 2 \cdot 81 = 1156 - 162 = 994$

Теперь мы можем вычислить значение всего выражения, прибавив произведение корней:

$x_1^4 + x_2^4 + x_1x_2 = 994 + (-9) = 985$

Ответ: 985