Номер 41, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. Найдите значение суммы корней уравнения:

1) $x^2 + 2 |x| - 48 = 0;$

2) $x^2 - 2 |x| + 5x - 8 = 0;$

3) $x^2 - 2 |x - 2| - 6 = 0;$

4) $-2x^2 - 2 |x + 2| + 4 = 0.$

1) $x^2 + 2|x| - 48 = 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, данное уравнение является квадратным относительно $|x|$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение принимает вид: $t^2 + 2t - 48 = 0$.
По теореме Виета, произведение корней равно $-48$, а сумма равна $-2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = -8$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 6$.
Возвращаемся к замене: $|x| = 6$.
Отсюда получаем два корня исходного уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Сумма корней равна $6 + (-6) = 0$.
Ответ: 0.

2) $x^2 - 2|x| + 5x - 8 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x^2 - 2x + 5x - 8 = 0$, то есть $x^2 + 3x - 8 = 0$.
Найдем корни: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только корень $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2}$, так как $\sqrt{41} > \sqrt{9} = 3$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $x^2 - 2(-x) + 5x - 8 = 0$, то есть $x^2 + 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x = 1$ и $x = -8$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только корень $x_2 = -8$.
Сумма всех найденных корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} + (-8) = \frac{-3 + \sqrt{41} - 16}{2} = \frac{\sqrt{41} - 19}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{41} - 19}{2}$.

3) $x^2 - 2|x - 2| - 6 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид $x^2 - 2(x - 2) - 6 = 0$, что упрощается до $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Найдем корни: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12$. Корни $x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
Проверим условие $x \ge 2$: корень $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ удовлетворяет условию, так как $\sqrt{3} > 1 \implies 1+\sqrt{3}>2$. Корень $1-\sqrt{3}$ не удовлетворяет, так как он отрицателен.
Случай 2: $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2)$. Уравнение принимает вид $x^2 + 2(x - 2) - 6 = 0$, что упрощается до $x^2 + 2x - 10 = 0$.
Найдем корни: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 44$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$.
Проверим условие $x < 2$: корень $x_2 = -1 - \sqrt{11}$ очевидно удовлетворяет условию. Корень $-1 + \sqrt{11}$ не удовлетворяет, так как $\sqrt{11} > 3 \implies -1+\sqrt{11}>2$.
Сумма всех найденных корней: $S = x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{11}) = \sqrt{3} - \sqrt{11}$.
Ответ: $\sqrt{3} - \sqrt{11}$.

4) $-2x^2 - 2|x + 2| + 4 = 0$.
Разделим все уравнение на $-2$: $x^2 + |x + 2| - 2 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge -2$. Тогда $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид $x^2 + (x + 2) - 2 = 0$, то есть $x^2 + x = 0$.
Отсюда $x(x+1)=0$, корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -2$.
Случай 2: $x < -2$. Тогда $|x + 2| = -(x + 2)$. Уравнение принимает вид $x^2 - (x + 2) - 2 = 0$, то есть $x^2 - x - 4 = 0$.
Найдем корни: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 17$. Корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Проверим, удовлетворяют ли они условию $x < -2$. Корень $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ положителен и не подходит. Проверим корень $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$: неравенство $\frac{1 - \sqrt{17}}{2} < -2$ эквивалентно $1 - \sqrt{17} < -4$, что равносильно $5 < \sqrt{17}$ или $25 < 17$, что неверно. Значит, этот корень также не удовлетворяет условию. В этом случае решений нет.
Следовательно, единственные корни уравнения это $0$ и $-1$. Сумма корней равна $0 + (-1) = -1$.
Ответ: -1.