Номер 45, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. Способом введения новой переменной решите уравнение:

1) $(x - 1)^2 (x^2 - 2x) = 30;$

2) $(x + 2)^2 (x^2 + 4x) = 21;$

3) $(x^2 - 4x + 3) (x^2 - 4x - 1) = 5;$

4) $(x^2 + 3x + 3) (x^2 + 3x + 1) = -1;$

5) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0;$

6) $x^4 - x^2 - 56 = 0;$

7) $(x + 1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12;$

8) $(x - 2)^4 + (x^2 - 4x) = 16;$

9) $(x^2 - 2x + 3) (x^2 - 2x - 1) = 12;$

10) $(x^2 - 3x + 3) (x^2 - 3x + 1) = -1;$

11) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0;$

12) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0.$

1) $(x - 1)^2 (x^2 - 2x) = 30$

Раскроем скобки $(x - 1)^2$, получим $x^2 - 2x + 1$. Уравнение примет вид:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 2x) = 30$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда уравнение переписывается как:

$(t + 1)t = 30$

$t^2 + t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -6$.

Выполним обратную замену:

а) Если $t = 5$, то $x^2 - 2x = 5$, или $x^2 - 2x - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-5) = 4 + 20 = 24$.

Корни $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

б) Если $t = -6$, то $x^2 - 2x = -6$, или $x^2 - 2x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(6) = 4 - 24 = -20$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $1 \pm \sqrt{6}$.

2) $(x + 2)^2 (x^2 + 4x) = 21$

Раскроем скобки $(x + 2)^2$, получим $x^2 + 4x + 4$. Уравнение примет вид:

$(x^2 + 4x + 4)(x^2 + 4x) = 21$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 4x$. Тогда:

$(t + 4)t = 21$

$t^2 + 4t - 21 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -7$.

Выполним обратную замену:

а) Если $t = 3$, то $x^2 + 4x = 3$, или $x^2 + 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28$.

Корни $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$.

б) Если $t = -7$, то $x^2 + 4x = -7$, или $x^2 + 4x + 7 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(7) = 16 - 28 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-2 \pm \sqrt{7}$.

3) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4x - 1) = 5$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 4x$. Тогда:

$(t + 3)(t - 1) = 5$

$t^2 + 2t - 3 = 5$

$t^2 + 2t - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

а) $x^2 - 4x = 2 \Rightarrow x^2 - 4x - 2 = 0$. $D = (-4)^2 - 4(1)(-2) = 16 + 8 = 24$. $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.

б) $x^2 - 4x = -4 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2$.

Ответ: $2; 2 \pm \sqrt{6}$.

4) $(x^2 + 3x + 3)(x^2 + 3x + 1) = -1$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда:

$(t + 3)(t + 1) = -1$

$t^2 + 4t + 3 = -1$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

$(t + 2)^2 = 0$

Отсюда $t = -2$.

Выполним обратную замену: $x^2 + 3x = -2 \Rightarrow x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-1; -2$.

5) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1$.

6) $x^4 - x^2 - 56 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 56 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -7$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 8$.

Выполним обратную замену: $x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

7) $(x + 1)^4 - (x^2 + 2x + 1) = 12$

Заметим, что $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Уравнение примет вид:

$(x + 1)^4 - (x + 1)^2 - 12 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = (x + 1)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену: $(x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2$.

а) $x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1$.

б) $x + 1 = -2 \Rightarrow x = -3$.

Ответ: $1; -3$.

8) $(x - 2)^4 + (x^2 - 4x) = 16$

Преобразуем выражение $x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.

Уравнение примет вид: $(x - 2)^4 + (x - 2)^2 - 4 = 16$, или $(x - 2)^4 + (x - 2)^2 - 20 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = (x-2)^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 + t - 20 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену: $(x - 2)^2 = 4 \Rightarrow x - 2 = \pm 2$.

а) $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$.

б) $x - 2 = -2 \Rightarrow x = 0$.

Ответ: $0; 4$.

9) $(x^2 - 2x + 3)(x^2 - 2x - 1) = 12$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 2x$. Тогда:

$(t + 3)(t - 1) = 12$

$t^2 + 2t - 3 = 12$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

а) $x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3, x_2 = -1$.

б) $x^2 - 2x = -5 \Rightarrow x^2 - 2x + 5 = 0$. $D = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16 < 0$, корней нет.

Ответ: $3; -1$.

10) $(x^2 - 3x + 3)(x^2 - 3x + 1) = -1$

Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 3x$. Тогда:

$(t + 3)(t + 1) = -1$

$t^2 + 4t + 3 = -1$

$t^2 + 4t + 4 = 0$

$(t + 2)^2 = 0 \Rightarrow t = -2$.

Выполним обратную замену: $x^2 - 3x = -2 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2$.

11) $x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим обе части на $x^2 \ne 0$:

$x^2 + 2x - 11 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + \frac{4}{x^2}) + (2x + \frac{4}{x}) - 11 = 0$, или $(x^2 + (\frac{2}{x})^2) + 2(x + \frac{2}{x}) - 11 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{2}{x}$. Тогда $t^2 = (x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 4$.

Подставим в уравнение: $(t^2 - 4) + 2t - 11 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 15 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

а) $x + \frac{2}{x} = 3 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = 2$.

б) $x + \frac{2}{x} = -5 \Rightarrow x^2 + 5x + 2 = 0$. $D = 5^2 - 4(2) = 17$. Корни $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Ответ: $1; 2; \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$.

12) $x^4 - 2x^3 - 23x^2 + 8x + 16 = 0$

Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим обе части на $x^2 \ne 0$:

$x^2 - 2x - 23 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + \frac{16}{x^2}) - (2x - \frac{8}{x}) - 23 = 0$, или $(x^2 + (\frac{4}{x})^2) - 2(x - \frac{4}{x}) - 23 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = x - \frac{4}{x}$. Тогда $t^2 = (x - \frac{4}{x})^2 = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{16}{x^2} = t^2 + 8$.

Подставим в уравнение: $(t^2 + 8) - 2t - 23 = 0 \Rightarrow t^2 - 2t - 15 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

а) $x - \frac{4}{x} = 5 \Rightarrow x^2 - 5x - 4 = 0$. $D = (-5)^2 - 4(1)(-4) = 41$. Корни $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

б) $x - \frac{4}{x} = -3 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни $x_3 = 1, x_4 = -4$.

Ответ: $1; -4; \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$.