Номер 63, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

63. 1) Значение суммы цифр двузначного числа равно 15. Если цифры этого двузначного числа поменять местами, то получится число, которое меньше его на 27. Найдите эти числа.

2) Значение суммы цифр двузначного числа равно 12. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет $\frac{4}{7}$ от исходного числа. Найдите эти числа.

1)

Пусть искомое двузначное число имеет $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10x + y$. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет равно $10y + x$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Сумма цифр числа равна 15:
$x + y = 15$
2. Если цифры поменять местами, новое число будет меньше исходного на 27:
$(10x + y) - (10y + x) = 27$

Упростим второе уравнение:
$10x + y - 10y - x = 27$
$9x - 9y = 27$
Разделив обе части на 9, получим:
$x - y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 15 + 3$
$2x = 18$
$x = 9$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$9 + y = 15$
$y = 15 - 9$
$y = 6$

Следовательно, искомое число состоит из цифр 9 (десятки) и 6 (единицы), то есть это число 96. Число с переставленными цифрами — 69.
Проверка: сумма цифр $9 + 6 = 15$. Разность чисел $96 - 69 = 27$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 96 и 69.

2)

Пусть искомое двузначное число равно $10x + y$, где $x$ — цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно $10y + x$.

На основе условий задачи составим систему уравнений:
1. Сумма цифр числа равна 12:
$x + y = 12$
2. Число, записанное в обратном порядке, составляет $\frac{4}{7}$ от исходного числа:
$10y + x = \frac{4}{7}(10x + y)$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 7, чтобы избавиться от дроби:
$7(10y + x) = 4(10x + y)$
$70y + 7x = 40x + 4y$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ — в другую:
$70y - 4y = 40x - 7x$
$66y = 33x$
Разделив обе части на 33, получим:
$x = 2y$

Теперь подставим выражение $x = 2y$ в первое уравнение системы:
$2y + y = 12$
$3y = 12$
$y = 4$

Теперь найдем $x$, используя соотношение $x = 2y$:
$x = 2 \cdot 4$
$x = 8$

Таким образом, исходное число — 84 (8 десятков и 4 единицы). Число с переставленными цифрами — 48.
Проверка: сумма цифр $8 + 4 = 12$. Отношение чисел $\frac{48}{84} = \frac{4 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{4}{7}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 84 и 48.