Номер 67, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

67.1) Наименьшее значение функции $y = x^2 - 4x + a$ равно 2. Найдите параметр $a$ и постройте график этой функции.

2) Наибольшее значение функции $y = -x^2 + 6x + a$ равно 4. Найдите параметр $a$ и постройте график этой функции.

1)

Дана функция $y = x^2 - 4x + a$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (то есть, он положителен), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = kx^2 + bx + c$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2k}$ и $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае коэффициенты $k=1$ и $b=-4$. Найдем абсциссу (координату x) вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем ординату (координату y) вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение функции:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) + a = 4 - 8 + a = a - 4$.

По условию задачи, наименьшее значение функции равно 2. Это означает, что ордината вершины $y_0$ равна 2. Составим и решим уравнение:

$a - 4 = 2$

$a = 2 + 4$

$a = 6$.

Таким образом, мы нашли параметр $a=6$. Исходная функция имеет вид: $y = x^2 - 4x + 6$.

Для построения графика найдем ключевые точки. Мы уже знаем, что вершина параболы находится в точке $(2; 2)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2$. Найдем несколько дополнительных точек:

• При $x = 0$, $y = 0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0; 6)$.
• При $x = 1$, $y = 1^2 - 4(1) + 6 = 1 - 4 + 6 = 3$. Точка $(1; 3)$.
• Используя симметрию относительно оси $x = 2$, получаем симметричные точки: $(4; 6)$ и $(3; 3)$.

График функции $y = x^2 - 4x + 6$:

Ответ: $a=6$.

2)

Дана функция $y = -x^2 + 6x + a$. Это также квадратичная функция, и ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицателен), поэтому ветви параболы направлены вниз. Такая функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находим по тем же формулам. Здесь коэффициенты $k=-1$ и $b=6$.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.

Ордината вершины:

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) + a = -9 + 18 + a = a + 9$.

По условию, наибольшее значение функции равно 4, следовательно $y_0 = 4$.

$a + 9 = 4$

$a = 4 - 9$

$a = -5$.

Итак, параметр $a=-5$, а функция имеет вид: $y = -x^2 + 6x - 5$.

Построим ее график. Вершина находится в точке $(3; 4)$. Ось симметрии — прямая $x = 3$. Найдем точки пересечения с осями и другие опорные точки:

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -0^2 + 6(0) - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $-x^2 + 6x - 5 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.
• При $x = 2$, $y = -(2)^2 + 6(2) - 5 = -4 + 12 - 5 = 3$. Точка $(2; 3)$.
• Симметричная ей точка — $(4; 3)$.

График функции $y = -x^2 + 6x - 5$:

Ответ: $a=-5$.