Номер 1.1, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.1. Постройте график линии, заданной уравнением:

1) $3x - 2y + 5 = 0;$

2) $2x - 5y = 7;$

3) $-x^2 + 2y = 0;$

4) $3y + 3x^2 - 6 = 0;$

5) $y - \frac{1}{2}x^2 - 1,5 = 0;$

6) $2y - |x| + 5 = 0;$

7) $y + 2|x| - 6 = 0;$

8) $|y| - x + 2 = 0;$

9) $y - |x + 1| - 2 = 0.$

1) Дано линейное уравнение $3x - 2y + 5 = 0$. Графиком этого уравнения является прямая линия. Чтобы построить ее, выразим $y$ через $x$:

$2y = 3x + 5$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ или $y = 1,5x + 2,5$.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 1,5 \cdot 0 + 2,5 = 2,5$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 2,5)$.
• При $y=0$, $0 = 1,5x + 2,5 \Rightarrow 1,5x = -2,5 \Rightarrow x = -\frac{2,5}{1,5} = -\frac{5}{3}$. Точка пересечения с осью OX: $(-\frac{5}{3}; 0)$.

Соединив эти две точки, получим искомый график.

Ответ: Графиком является прямая линия $y = 1,5x + 2,5$.

2) Дано линейное уравнение $2x - 5y = 7$. Графиком является прямая линия. Выразим $y$ через $x$:

$5y = 2x - 7$

$y = \frac{2}{5}x - \frac{7}{5}$ или $y = 0,4x - 1,4$.

Найдем две точки для построения прямой:

• При $x=0$, $y = 0,4 \cdot 0 - 1,4 = -1,4$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -1,4)$.
• При $y=0$, $0 = 0,4x - 1,4 \Rightarrow 0,4x = 1,4 \Rightarrow x = \frac{1,4}{0,4} = 3,5$. Точка пересечения с осью OX: $(3,5; 0)$.

Соединив эти две точки, получим график.

Ответ: Графиком является прямая линия $y = 0,4x - 1,4$.

3) Дано уравнение $-x^2 + 2y = 0$. Это уравнение второй степени, его графиком является парабола. Выразим $y$ через $x$:

$2y = x^2$

$y = \frac{1}{2}x^2$ или $y = 0,5x^2$.

Это каноническое уравнение параболы. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек:

• При $x=0, y=0$.
• При $x=\pm 2, y = 0,5 \cdot (\pm 2)^2 = 2$. Точки $(\pm 2; 2)$.
• При $x=\pm 4, y = 0,5 \cdot (\pm 4)^2 = 8$. Точки $(\pm 4; 8)$.

Ответ: Графиком является парабола $y = 0,5x^2$ с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

4) Дано уравнение $3y + 3x^2 - 6 = 0$. Это уравнение параболы. Выразим $y$ через $x$:

$3y = -3x^2 + 6$

$y = -x^2 + 2$.

Это парабола, полученная из $y=-x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$, а ветви направлены вниз. Найдем точки пересечения с осью OX ($y=0$):

$0 = -x^2 + 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1,41$.

Точки пересечения с осью OX: $(\pm\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: Графиком является парабола $y = -x^2 + 2$ с вершиной в точке $(0; 2)$ и ветвями, направленными вниз.

5) Дано уравнение $y - \frac{1}{2}x^2 - 1,5 = 0$. Это уравнение параболы. Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{1}{2}x^2 + 1,5$ или $y = 0,5x^2 + 1,5$.

Это парабола, полученная из $y=0,5x^2$ сдвигом на 1,5 единицы вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; 1,5)$, а ветви направлены вверх. Так как вершина находится выше оси OX и ветви направлены вверх, пересечений с осью OX нет.

Ответ: Графиком является парабола $y = 0,5x^2 + 1,5$ с вершиной в точке $(0; 1,5)$ и ветвями, направленными вверх.

6) Дано уравнение $2y - |x| + 5 = 0$. Оно содержит модуль $x$, поэтому график будет симметричен относительно оси OY. Выразим $y$:

$2y = |x| - 5$

$y = \frac{1}{2}|x| - \frac{5}{2}$ или $y = 0,5|x| - 2,5$.

График представляет собой "V"-образную линию. Вершина находится при $x=0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2,5 = -2,5$. Точка вершины: $(0; -2,5)$.

Раскроем модуль:

• Если $x \ge 0$, то $y = 0,5x - 2,5$ (луч, выходящий из вершины вправо-вверх).
• Если $x < 0$, то $y = -0,5x - 2,5$ (луч, выходящий из вершины влево-вверх).

Ответ: График состоит из двух лучей, образующих "V"-образную форму с вершиной в точке $(0; -2,5)$.

7) Дано уравнение $y + 2|x| - 6 = 0$. Выразим $y$:

$y = -2|x| + 6$.

График симметричен относительно оси OY. Это перевернутая "V"-образная линия. Вершина находится при $x=0$, $y = -2 \cdot 0 + 6 = 6$. Точка вершины: $(0; 6)$.

Раскроем модуль:

• Если $x \ge 0$, то $y = -2x + 6$ (луч, выходящий из вершины вправо-вниз).
• Если $x < 0$, то $y = 2x + 6$ (луч, выходящий из вершины влево-вниз).

Ответ: График представляет собой перевернутую "V"-образную линию с вершиной в точке $(0; 6)$.

8) Дано уравнение $|y| - x + 2 = 0$. Оно содержит модуль $y$, поэтому график будет симметричен относительно оси OX. Выразим $|y|$:

$|y| = x - 2$.

Так как модуль числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. График существует только для $x \ge 2$.

Вершина находится при $|y|=0$, что дает $x=2$. Точка вершины: $(2; 0)$.

Раскроем модуль:

• Если $y \ge 0$, то $y = x - 2$ (луч, выходящий из вершины вправо-вверх).
• Если $y < 0$, то $-y = x - 2 \Rightarrow y = -x + 2$ (луч, выходящий из вершины вправо-вниз).

График представляет собой "V"-образную линию, "лежащую на боку" и открытую вправо.

Ответ: График состоит из двух лучей с общим началом в точке $(2; 0)$, симметричных относительно оси OX.

9) Дано уравнение $y - |x + 1| - 2 = 0$. Выразим $y$:

$y = |x + 1| + 2$.

Этот график является смещенной версией графика $y=|x|$. Сдвиг происходит на 1 единицу влево (из-за $+1$ под модулем) и на 2 единицы вверх. Вершина "V"-образной линии находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$. При $x=-1$, $y=|-1+1|+2=2$. Точка вершины: $(-1; 2)$.

Раскроем модуль:

• Если $x+1 \ge 0$ (т.е. $x \ge -1$), то $y = (x+1)+2 = x+3$.
• Если $x+1 < 0$ (т.е. $x < -1$), то $y = -(x+1)+2 = -x+1$.

Ответ: График представляет собой "V"-образную линию с вершиной в точке $(-1; 2)$.