Номер 1.5, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.5. Постройте график уравнения:

1) $3xy = 5;$

2) $y(x - 2) = 2;$

3) $y(x + 1) = -3;$

4) $y |x - 3| = 4;$

5) $y = |x^2 - 4|;$

6) $y = |3 - x^2|.$

1)Исходное уравнение $3xy = 5$. Чтобы построить его график, выразим $y$ через $x$. При $x \neq 0$ получаем $y = \frac{5}{3x}$ или $y = \frac{5/3}{x}$.Это уравнение обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = \frac{5}{3}$.Так как $k > 0$, график функции (гипербола) расположен в I и III координатных четвертях.Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1$, $y = 5/3 \approx 1.67$
• при $x=5/3$, $y=1$
• при $x=-1$, $y = -5/3 \approx -1.67$
• при $x=-5/3$, $y=-1$

Ответ:

2)Дано уравнение $y(x - 2) = 2$. Чтобы построить график, выразим $y$. При $x \neq 2$ имеем $y = \frac{2}{x-2}$.График этой функции — гипербола. Её можно получить из графика функции $y = \frac{2}{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) остается на месте.Найдем контрольные точки:

• при $x=3$, $y = \frac{2}{3-2} = 2$
• при $x=4$, $y = \frac{2}{4-2} = 1$
• при $x=1$, $y = \frac{2}{1-2} = -2$
• при $x=0$, $y = \frac{2}{0-2} = -1$

Ответ:

3)Дано уравнение $y(x + 1) = -3$. Выразим $y$ при $x \neq -1$: $y = \frac{-3}{x+1}$.График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = \frac{-3}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси Ox.Поскольку коэффициент $k=-3 < 0$, ветви исходной гиперболы располагались во II и IV четвертях.Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) остается.Найдем точки:

• при $x=0$, $y = \frac{-3}{0+1} = -3$
• при $x=2$, $y = \frac{-3}{2+1} = -1$
• при $x=-2$, $y = \frac{-3}{-2+1} = 3$
• при $x=-4$, $y = \frac{-3}{-4+1} = 1$

Ответ:

4)Из уравнения $y|x-3| = 4$ выразим $y$: $y = \frac{4}{|x-3|}$.Область определения: $x \neq 3$. Поскольку знаменатель $|x-3|$ всегда неотрицателен (и в данном случае строго положителен), то и $y > 0$. Весь график будет лежать выше оси Ox.Рассмотрим два случая:1. Если $x-3 > 0$, т.е. $x > 3$, то $|x-3| = x-3$. Уравнение принимает вид $y = \frac{4}{x-3}$. Это правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=3$ и $y=0$.2. Если $x-3 < 0$, т.е. $x < 3$, то $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Уравнение принимает вид $y = \frac{4}{3-x}$. Это ветвь гиперболы, симметричная первой относительно прямой $x=3$.График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $x=3$.

Ответ:

5)Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ выполним следующие шаги:1. Построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх.2. Найдем точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x = -2$ и $x = 2$.3. Применим операцию взятия модуля. Та часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Это участок параболы между $x=-2$ и $x=2$. Части графика, которые уже находятся выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остаются без изменений.В результате отражения вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ:

6)График функции $y = |3 - x^2|$. Заметим, что $|3 - x^2| = |-(x^2 - 3)| = |x^2 - 3|$.Построение аналогично предыдущему пункту:1. Строим параболу $y = x^2 - 3$. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 3 единицы вниз. Вершина в точке $(0, -3)$, ветви вверх.2. Находим нули функции: $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$. (Примерно $\pm1.73$).3. Часть графика, лежащую ниже оси Ox (для $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Остальные части графика ($x \le -\sqrt{3}$ и $x \ge \sqrt{3}$) оставляем без изменений.Вершина $(0, -3)$ после отражения переходит в точку $(0, 3)$.

Ответ: