Номер 1.9, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.9. Постройте график уравнения:

1) $y = x^2 - 2|x| + 2;$ 2) $y = x^2 - |x - 1| - 2;$ 3) $|x| \cdot y = 2;$

4) $|x| \cdot y = -1;$ 5) $|y| = |x|;$ 6) $|y| + |x| = 2;$

7) $|y| + 2|x| = 3;$ 8) $y \cdot x^2 = 2;$ 9) $y = ||x - 2| - 2|.$

1) $y = x^2 - 2|x| + 2$

Данная функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| + 2 = x^2 - 2|x| + 2 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси OY.

Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$y = x^2 - 2x + 2$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину:

$x_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_в = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем несколько точек для $x \ge 0$:

• При $x=0, y = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x=1, y = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x=2, y = 2^2 - 2(2) + 2 = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x=3, y = 3^2 - 2(3) + 2 = 5$. Точка $(3, 5)$.

Строим эту часть графика для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$. График будет состоять из двух частей парабол, соединенных в точке $(0, 2)$.

Ответ: График представляет собой объединение двух частей парабол. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 2x + 2$ с вершиной в $(1, 1)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = x^2 + 2x + 2$ с вершиной в $(-1, 1)$. Обе части соединяются в точке $(0, 2)$.

2) $y = x^2 - |x - 1| - 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

В этом случае $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид:

$y = x^2 - (x - 1) - 2 = x^2 - x - 1$

Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_в = -\frac{-1}{2} = 0.5$. Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 1$, поэтому на этом промежутке функция возрастает. Точка "стыка" при $x=1$: $y = 1^2 - 1 - 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Случай 2: $x - 1 < 0 \implies x < 1$

В этом случае $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Уравнение принимает вид:

$y = x^2 - (1 - x) - 2 = x^2 + x - 3$

Это парабола, ветви вверх. Вершина: $x_в = -\frac{1}{2} = -0.5$. Это значение входит в промежуток $x < 1$. $y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) - 3 = 0.25 - 0.5 - 3 = -3.25$. Вершина в точке $(-0.5, -3.25)$.

При $x \to 1$, $y \to 1+1-3 = -1$. Графики стыкуются в точке $(1, -1)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(1, -1)$. Для $x < 1$ это часть параболы $y = x^2 + x - 3$ с вершиной в $(-0.5, -3.25)$. Для $x \ge 1$ это часть параболы $y = x^2 - x - 1$.

3) $|x| \cdot y = 2$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{|x|}$.

График симметричен относительно оси OY, так как замена $x$ на $-x$ не меняет уравнение.

Случай 1: $x > 0$

$y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

Случай 2: $x < 0$

$y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Для $x>0$ это график функции $y = 2/x$ (ветвь гиперболы в I четверти). Для $x<0$ это график функции $y = -2/x$ (ветвь гиперболы во II четверти). Ось Y является вертикальной асимптотой.

4) $|x| \cdot y = -1$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$. Выразим $y$: $y = -\frac{1}{|x|}$.

Так как $|x| > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y$ всегда будет отрицательным. График полностью расположен ниже оси OX. График симметричен относительно оси OY.

Случай 1: $x > 0$

$y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти.

Случай 2: $x < 0$

$y = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти.

Ответ: График состоит из двух ветвей. Для $x>0$ это график функции $y = -1/x$ (ветвь гиперболы в IV четверти). Для $x<0$ это график функции $y = 1/x$ (ветвь гиперболы в III четверти). Ось Y является вертикальной асимптотой.

5) $|y| = |x|$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y = |x|$ или $-y = |x|$

То есть, $y = |x|$ и $y = -|x|$.

1. График $y = |x|$ состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Это "галочка", выходящая из начала координат и лежащая в I и II четвертях.

2. График $y = -|x|$ состоит из двух лучей: $y=-x$ при $x \ge 0$ и $y=x$ при $x < 0$. Это перевернутая "галочка", выходящая из начала координат и лежащая в III и IV четвертях.

Объединение этих двух графиков дает две пересекающиеся в начале координат прямые: $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = -x$.

6) $|y| + |x| = 2$

График этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей и начала координат. Построим его в первой четверти, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

При $x \ge 0, y \ge 0$ уравнение принимает вид $y + x = 2$, или $y = -x + 2$.

Это отрезок прямой, который соединяет точку на оси OY $(0, 2)$ и точку на оси OX $(2, 0)$.

Отражая этот отрезок симметрично относительно оси OY, получаем отрезок, соединяющий $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Отражая исходный отрезок симметрично относительно оси OX, получаем отрезок, соединяющий $(2, 0)$ и $(0, -2)$.

Отражая второй отрезок симметрично относительно оси OX, получаем отрезок, соединяющий $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

В результате получаем квадрат с вершинами в точках $(2, 0), (0, 2), (-2, 0), (0, -2)$.

Ответ: График представляет собой квадрат с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(0, -2)$.

7) $|y| + 2|x| = 3$

Аналогично предыдущему пункту, график симметричен относительно обеих осей. Рассмотрим первую четверть ($x \ge 0, y \ge 0$).

Уравнение становится $y + 2x = 3$, или $y = -2x + 3$.

Это отрезок прямой. Найдем его концы:

При $x=0, y=3$. Точка $(0, 3)$.

При $y=0, 2x=3 \implies x=1.5$. Точка $(1.5, 0)$.

В первой четверти график - это отрезок, соединяющий $(0, 3)$ и $(1.5, 0)$.

Отражая этот отрезок в другие четверти, получаем ромб с вершинами в точках $(1.5, 0), (0, 3), (-1.5, 0), (0, -3)$.

Ответ: График представляет собой ромб с вершинами в точках $(1.5, 0)$, $(0, 3)$, $(-1.5, 0)$ и $(0, -3)$.

8) $y \cdot x^2 = 2$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{x^2}$.

Функция является четной ($y(-x) = 2/(-x)^2 = 2/x^2 = y(x)$), поэтому график симметричен относительно оси OY. Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, то $y$ всегда положителен. График лежит выше оси OX.

Ось OY ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$.

Ось OX ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.

Несколько точек: $(\pm 1, 2)$, $(\pm 2, 0.5)$, $(\pm 0.5, 8)$.

Ответ: График состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси OY. Ось OY - вертикальная асимптота, ось OX - горизонтальная асимптота.

9) $y = ||x - 2| - 2|$

Построим график поэтапно:

1. $y_1 = x - 2$: прямая.

2. $y_2 = |x - 2|$: график $y_1$, у которого часть ниже оси OX отражена наверх. Получаем "галочку" с вершиной в $(2, 0)$.

3. $y_3 = |x - 2| - 2$: сдвигаем график $y_2$ на 2 единицы вниз. Вершина перемещается в точку $(2, -2)$. Нули функции: $|x-2|=2 \implies x-2=\pm 2 \implies x=4$ и $x=0$.

4. $y = ||x - 2| - 2| = |y_3|$: берем график $y_3$ и часть, которая лежит ниже оси OX (между $x=0$ и $x=4$), отражаем симметрично вверх. Вершина $(2, -2)$ переходит в $(2, 2)$.

Итоговый график состоит из ломаной линии с вершинами в точках $(0, 0), (2, 2), (4, 0)$.

Можно также раскрыть модули. Функция кусочно-линейная:

• При $x \le 0$: $y = -( -(x-2) - 2) = -(-x+2-2) = x$. Ошибка, $y = -x$. Проверим: $x=-1 \implies y=||-3|-2| = |3-2|=1$. $y=-(-1)=1$. Верно. $y=-x$.
• При $0 < x < 2$: $y = -( -(x-2) - 2) = x$. Проверим: $x=1 \implies y=||-1|-2|=|1-2|=1$. $y=1$. Верно.
• При $2 \le x < 4$: $y = -( (x-2) - 2) = -(x-4) = 4-x$. Проверим: $x=3 \implies y=||1|-2|=|-1|=1$. $y=4-3=1$. Верно.
• При $x \ge 4$: $y = (x-2)-2 = x-4$. Проверим: $x=5 \implies y=||3|-2|=|1|=1$. $y=5-4=1$. Верно.

Ответ: График представляет собой ломаную линию ("W"-образной формы), проходящую через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$, $(4, 0)$, $(6, 2)$.