Вопросы, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Например:

$ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ x + y^2 = 11 \end{cases} $

2. Какие способы применяют для решения систем, состоящих из линейного уравнения и уравнения второй степени?

Способ подстановки.

3. Какие способы применяют как для решения систем линейных уравнений с двумя переменными, так и для решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными?

Способ подстановки, графический способ.

1. Приведите пример системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система уравнений называется нелинейной, если хотя бы одно из входящих в нее уравнений является нелинейным. Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ является нелинейным, если переменные в нем содержатся в степени выше первой, или есть их произведение ($xy$), или переменные находятся под знаком корня, модуля, в показателе степени, внутри тригонометрической или логарифмической функции.

Приведем пример системы, где оба уравнения являются нелинейными. Пусть одно уравнение задает окружность, а второе — гиперболу.

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = 6\end{cases}$

В этой системе первое уравнение $x^2 + y^2 = 13$ является нелинейным, так как переменные $x$ и $y$ находятся во второй степени. Второе уравнение $xy = 6$ также является нелинейным, так как содержит произведение переменных. Таким образом, вся система является нелинейной.

Ответ:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 13 \\xy = 6\end{cases}$

2. Какие способы применяют для решения систем, состоящих из линейного уравнения и уравнения второй степени?

Для решения систем, в которых одно уравнение линейное, а другое — второй степени, наиболее эффективным и распространенным является способ подстановки.

Алгоритм решения этим способом выглядит так:

1. Из линейного уравнения выражают одну переменную через другую. Например, из уравнения $ax + by = c$ выражают $y$ через $x$ (или наоборот): $y = \frac{c-ax}{b}$.

2. Полученное выражение подставляют в уравнение второй степени. Это приводит к уравнению с одной переменной, которое, как правило, является квадратным.

3. Решают полученное квадратное уравнение. В зависимости от дискриминанта оно может иметь два, один или не иметь действительных корней.

4. Найденные значения первой переменной подставляют в выражение, полученное на первом шаге, чтобы найти соответствующие значения второй переменной.

5. Записывают ответ в виде пар чисел $(x; y)$, которые являются решениями системы.

Помимо способа подстановки, иногда можно использовать графический способ. Он заключается в построении в одной системе координат графиков обоих уравнений (в данном случае это будет прямая и кривая второго порядка — парабола, окружность, эллипс или гипербола). Координаты точек пересечения графиков будут являться решениями системы. Этот метод нагляден, но обычно дает лишь приблизительные значения, поэтому для нахождения точных решений он используется реже.

Ответ: Основным способом решения таких систем является способ подстановки. Также может применяться графический способ.

3. Какие способы применяют как для решения систем линейных уравнений с двумя переменными, так и для решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными?

Существуют универсальные методы, которые применимы для решения как систем линейных, так и систем нелинейных уравнений. К таким методам относятся:

• Способ подстановки. Как было показано в ответе на предыдущий вопрос, этот метод эффективно работает для систем с нелинейными уравнениями. Он также является одним из основных методов решения систем линейных уравнений. Его суть всегда одна: выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение.

• Способ алгебраического сложения (вычитания). Этот метод заключается в почленном сложении или вычитании уравнений системы для того, чтобы исключить одну из переменных. Для этого уравнения могут предварительно домножаться на некоторые коэффициенты. Этот способ является ключевым для решения линейных систем, но он также успешно применяется и для некоторых типов нелинейных систем, где есть одинаковые члены. Например, в системе$\begin{cases}2x^2 + y = 8 \\x^2 + y = 5\end{cases}$можно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить $y$ и получить простое уравнение $x^2 = 3$.

• Графический способ. Этот метод абсолютно универсален. Он заключается в построении графиков всех уравнений системы в одной координатной плоскости. Решениями системы являются координаты точек пересечения этих графиков. Метод работает для любых уравнений, для которых можно построить график, будь то прямая, парабола, окружность или более сложная кривая. Его главный недостаток — невысокая точность, зависящая от масштаба и аккуратности построения.

Ответ: Способ подстановки, способ сложения (вычитания) и графический способ.