Номер 2.7, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.7. Найдите значения параметра p, при котором система уравнений:

1) $\begin{cases} y - x^2 = 1, \\ y + x = p; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y - x^2 = -2, \\ y + |x| = p; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 + x^2 = 4, \\ y + x = p \end{cases}$

а) имеет два решения;

б) имеет одно решение;

в) не имеет решений.

1)Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = 1 \\ y + x = p \end{cases} $.Для решения этой задачи можно использовать аналитический или графический метод.Первое уравнение, $y = x^2 + 1$, задает параболу с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх.Второе уравнение, $y = -x + p$, задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$. Параметр $p$ определяет сдвиг прямой вдоль оси $y$ (является y-пересечением).Количество решений системы равно количеству точек пересечения параболы и прямой.
Выразим $y$ из второго уравнения ($y = p - x$) и подставим в первое:$(p - x) - x^2 = 1$$x^2 + x + (1 - p) = 0$Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D$.$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - p) = 1 - 4 + 4p = 4p - 3$.

а) имеет два решения
Система имеет два решения, когда квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при $D > 0$.$4p - 3 > 0$$4p > 3$$p > 3/4$
Ответ: $p \in (3/4; +\infty)$.

б) имеет одно решение
Система имеет одно решение, когда квадратное уравнение имеет один действительный корень, то есть при $D = 0$. Это соответствует случаю, когда прямая касается параболы.$4p - 3 = 0$$p = 3/4$
Ответ: $p = 3/4$.

в) не имеет решений
Система не имеет решений, когда квадратное уравнение не имеет действительных корней, то есть при $D < 0$.$4p - 3 < 0$$p < 3/4$
Ответ: $p \in (-\infty; 3/4)$.

2)Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = -2 \\ y + |x| = p \end{cases} $.Решим задачу графически. Первое уравнение, $y = x^2 - 2$, — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями вверх.Второе уравнение, $y = -|x| + p$, задает график, состоящий из двух лучей, исходящих из точки $(0, p)$ (вершина "галочки"). При $x \ge 0$ это $y = -x + p$, а при $x < 0$ это $y = x + p$.Количество решений системы — это количество точек пересечения параболы и "галочки".
Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Вершина "галочки" находится в точке $(0, p)$.

а) имеет два решения
Если вершина "галочки" $(0, p)$ находится выше вершины параболы $(0, -2)$, то есть $p > -2$, то графики пересекаются в двух точках (симметрично относительно оси Oy).
Ответ: $p \in (-2; +\infty)$.

б) имеет одно решение
Если вершины графиков совпадают, то есть $p = -2$, то они имеют одну общую точку $(0, -2)$. При любом $x \ne 0$ парабола будет лежать выше "галочки" ($x^2-2 > -|x|-2 \Leftrightarrow x^2 > -|x|$), поэтому других пересечений нет.
Ответ: $p = -2$.

в) не имеет решений
Если вершина "галочки" $(0, p)$ находится ниже вершины параболы $(0, -2)$, то есть $p < -2$, то "галочка" полностью лежит под параболой, и пересечений нет.
Ответ: $p \in (-\infty; -2)$.

3)Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} y^2 + x^2 = 4 \\ y + x = p \end{cases} $.Графиком первого уравнения $x^2 + y^2 = 2^2$ является окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$.Графиком второго уравнения $y = -x + p$ является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$.Число решений системы равно числу точек пересечения окружности и прямой.
Количество решений зависит от расстояния $d$ от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x + y - p = 0$.$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - p|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-p|}{\sqrt{2}} = \frac{|p|}{\sqrt{2}}$.

а) имеет два решения
Два решения существуют, когда прямая пересекает окружность, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса: $d < R$.$\frac{|p|}{\sqrt{2}} < 2 \implies |p| < 2\sqrt{2}$$-2\sqrt{2} < p < 2\sqrt{2}$
Ответ: $p \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

б) имеет одно решение
Одно решение существует, когда прямая касается окружности, то есть расстояние от центра до прямой равно радиусу: $d = R$.$\frac{|p|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |p| = 2\sqrt{2}$$p = 2\sqrt{2}$ или $p = -2\sqrt{2}$
Ответ: $p = \pm 2\sqrt{2}$.

в) не имеет решений
Решений нет, когда прямая не пересекает окружность, то есть расстояние от центра до прямой больше радиуса: $d > R$.$\frac{|p|}{\sqrt{2}} > 2 \implies |p| > 2\sqrt{2}$$p > 2\sqrt{2}$ или $p < -2\sqrt{2}$
Ответ: $p \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.