Номер 2.8, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.8. При каких значениях параметра p система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ |y - |x|| = p \end{cases} $

имеет:

1) три решения;

2) одно решение;

3) не имеет решений?

Для решения задачи используем графический метод. Система состоит из двух уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=3$.

2. $|y - |x|| = p$ — это уравнение задает семейство графиков, зависящих от параметра $p$.

Раскроем второе уравнение. Так как модуль — величина неотрицательная, то $p \ge 0$. Если $p < 0$, система не имеет решений.

При $p \ge 0$ уравнение $|y - |x|| = p$ равносильно совокупности двух уравнений:

$y - |x| = p \quad \Rightarrow \quad y = |x| + p$

$y - |x| = -p \quad \Rightarrow \quad y = |x| - p$

График $y = |x|$ — это "галочка" с вершиной в начале координат, состоящая из биссектрис первого и второго координатных углов. Графики $y = |x| + p$ и $y = |x| - p$ получаются из графика $y = |x|$ сдвигом вдоль оси OY на $p$ единиц вверх и вниз соответственно. Таким образом, второе уравнение при $p > 0$ задает пару "галочек", симметричных относительно оси OX, с вершинами в точках $(0, p)$ и $(0, -p)$. При $p=0$ эти две "галочки" сливаются в одну: $y=|x|$.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 9$ и пары графиков $y = |x| \pm p$.

Проанализируем симметрию. График окружности $x^2 + y^2 = 9$ симметричен относительно оси OY. График $|y - |x|| = p$ также симметричен относительно оси OY, так как замена $x$ на $-x$ не меняет уравнение ($|-x| = |x|$).Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 \neq 0$ является решением системы, то и точка $(-x_0, y_0)$ также является решением. Следовательно, все решения, не лежащие на оси OY, появляются парами.Найдем решения на оси OY (при $x=0$):$0^2 + y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$.$|y - |0|| = p \Rightarrow |y| = p$.Для точки $(0, 3)$ имеем $|3|=p$, то есть $p=3$.Для точки $(0, -3)$ имеем $|-3|=p$, то есть $p=3$.Таким образом, решения на оси OY существуют только при $p=3$, и их два: $(0, 3)$ и $(0, -3)$.Поскольку решения вне оси OY появляются парами, а на оси OY их либо нет (при $p \ne 3$), либо две (при $p=3$), общее количество решений системы всегда является четным числом (0, 2, 4, ...).Из этого следует, что система не может иметь нечетное число решений (1 или 3).

1) три решения

Исходя из проведенного анализа симметрии, система не может иметь нечетное количество решений. Таким образом, не существует таких значений параметра $p$, при которых система имела бы ровно три решения.

Ответ: таких значений $p$ нет.

2) одно решение

Исходя из проведенного анализа симметрии, система не может иметь нечетное количество решений. Таким образом, не существует таких значений параметра $p$, при которых система имела бы ровно одно решение.

Ответ: таких значений $p$ нет.

3) не имеет решений

Система не имеет решений в следующих случаях:

а) Если $p < 0$. В этом случае уравнение $|y - |x|| = p$ не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

б) Если $p \ge 0$, но графики не пересекаются. График $y = |x| + p$ не пересекает окружность, если его вершина $(0, p)$ находится выше верхней точки окружности, то есть при $p > 3$. При этом нам нужно, чтобы и второй график $y = |x| - p$ также не пересекал окружность.Найдем условие касания прямой $y = x - p$ (правая ветвь "галочки" $y=|x|-p$) и окружности $x^2 + y^2 = 9$. Расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y - p = 0$ должно быть равно радиусу $R=3$:$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - p|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-p|}{\sqrt{2}} = \frac{p}{\sqrt{2}}$ (так как $p \ge 0$).Приравниваем расстояние радиусу: $\frac{p}{\sqrt{2}} = 3 \Rightarrow p = 3\sqrt{2}$.При $p = 3\sqrt{2}$ происходит касание. Если $p > 3\sqrt{2}$, то "галочка" $y = |x| - p$ проходит ниже окружности и не имеет с ней общих точек. Поскольку $3\sqrt{2} \approx 4.24 > 3$, условие $p>3$ для верхней "галочки" также выполняется.Следовательно, при $p > 3\sqrt{2}$ система не имеет решений.

Объединяя оба случая, получаем, что система не имеет решений при $p < 0$ или $p > 3\sqrt{2}$.

Ответ: $p \in (-\infty, 0) \cup (3\sqrt{2}, +\infty)$.