Номер 2.12, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.12. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} \ge 4;$

2) $\frac{3x^2 - 8x}{x - 2} < 4x;$

3) $\frac{2x^2 - 3x}{5 - x} \ge 3;$

4) $\frac{2x^2 + 7x}{7 - 2x} \ge x.$

1) $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} \ge 4$

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем: $\frac{x^2 - 2x}{x + 2} - 4 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{x^2 - 2x - 4(x + 2)}{x + 2} \ge 0$

Упростим числитель: $\frac{x^2 - 2x - 4x - 8}{x + 2} \ge 0$
$\frac{x^2 - 6x - 8}{x + 2} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.
Корень знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. В этой точке выражение не определено.
Корни числителя: $x^2 - 6x - 8 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

Отметим точки $-2$, $3 - \sqrt{17}$ и $3 + \sqrt{17}$ на числовой прямой. Точка $x=-2$ будет выколотой (пустой кружок), так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки $x = 3 - \sqrt{17}$ и $x = 3 + \sqrt{17}$ будут закрашенными (сплошные кружки), так как неравенство нестрогое ($\ge$).

Определим знаки выражения $\frac{x^2 - 6x - 8}{x + 2}$ на полученных интервалах.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-2, 3 - \sqrt{17}] \cup [3 + \sqrt{17}, +\infty)$.

2) $\frac{3x^2 - 8x}{x - 2} < 4x$

Перенесем $4x$ в левую часть: $\frac{3x^2 - 8x}{x - 2} - 4x < 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{3x^2 - 8x - 4x(x - 2)}{x - 2} < 0$

Упростим числитель: $\frac{3x^2 - 8x - 4x^2 + 8x}{x - 2} < 0$
$\frac{-x^2}{x - 2} < 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\frac{x^2}{x - 2} > 0$

Решим методом интервалов.
Корень числителя: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (корень кратности 2).
Корень знаменателя: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки $0$ и $2$ на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. При переходе через точку $x=0$ знак выражения меняться не будет.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это интервал со знаком "+".
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

3) $\frac{2x^2 - 3x}{5 - x} \ge 3$

Перенесем 3 в левую часть: $\frac{2x^2 - 3x}{5 - x} - 3 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 - 3x - 3(5 - x)}{5 - x} \ge 0$

Упростим числитель: $\frac{2x^2 - 3x - 15 + 3x}{5 - x} \ge 0$
$\frac{2x^2 - 15}{5 - x} \ge 0$

Решим методом интервалов.
Корни числителя: $2x^2 - 15 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{15}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{15}{2}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{2}$.
Корень знаменателя: $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x = \pm\frac{\sqrt{30}}{2}$ закрашенные, точка $x=5$ выколотая.

Выбираем интервалы со знаком "+".
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{30}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{30}}{2}, 5)$.

4) $\frac{2x^2 + 7x}{7 - 2x} \ge x$

Перенесем $x$ в левую часть: $\frac{2x^2 + 7x}{7 - 2x} - x \ge 0$

Приведем к общему знаменателю: $\frac{2x^2 + 7x - x(7 - 2x)}{7 - 2x} \ge 0$

Упростим числитель: $\frac{2x^2 + 7x - 7x + 2x^2}{7 - 2x} \ge 0$
$\frac{4x^2}{7 - 2x} \ge 0$

Решим методом интервалов.
Корень числителя: $4x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (корень кратности 2).
Корень знаменателя: $7 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3.5$.

Отметим точки на прямой. Точка $x=0$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=3.5$ выколотая. При переходе через $x=0$ знак не меняется.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+", а также точка $x=0$, где выражение равно нулю. Объединяя $(-\infty, 0) \cup \{0\} \cup (0, 3.5)$, получаем единый промежуток.
Ответ: $x \in (-\infty, 3.5)$.